Hai sa demonstram ca [tex]\sqrt{5}[/tex] este irational
Presupunem ca exista p si q astfel incat [tex]\frac{p}{q}=\sqrt{5}[/tex] iar fractia p/q este ireductibila, deci cel mai mare divizor comun al lor este 1
(p,q)=1.
Ridicam la patrat acea ecuatie
[tex]\frac{p^{2}}{q^{2}}=5\Rightarrow p^{2}=5q^{2}[/tex]
Ceea ce inseamna ca p^2 este divizibil cu 5, dar 5 fiind numar prim(deci nu poate fi compus dintr-un produs a doua numere cum de exemplu 4=2*2) atunci inseamna ca si p este divizibil cu 5.
Sa zicem ca p=5m. Atunci avem relatia
[tex]25m^{2}=5q^{2}\Rightarrow q^{2}=5m^{2}[/tex]
De aici tragem aceeasi concluzie: q^2 este divizibil cu 5, adica din nou, q divizibil cu 5. Dar am pornit de la presupunerea ca ambele numere p si q au cel mai mare divizor 1, nu 5. Deci ne aflam intr-o situatie contradictorie, deci [tex]\sqrt{5}[/tex] nu este numar rational.
[tex]3+\sqrt{5}[/tex] este suma intre un numar rational si irational deci da tot un nr irational
Se poate demonstra similar ca [tex]\sqrt{2}[/tex] este irational, si atunci si a doua ecuatie este irationala.
