Răspuns :
Daca EF este paralel cu BC atunci
1) AB este secanta dreptelor paralele EF si BC. Stim ca pentru o secanta, unghiurile alterne interne sunt egale adica
[tex]\angle{ABC}=\angle{AEF}[/tex]
2) AC este secanta dreptelor paralele EF si BC. Stim ca pentru o secanta, unghiurile alterne interne sunt egale adica
[tex]\angle{ACB}=\angle{AFE}[/tex]
Dar stim ca intr-un triunghi isoscel unghiurile opuse laturilor congruente sunt tot congruente, atunci:
[tex]\angle{ACB}=\angle{ABC}[/tex] Deci folosindu-ne si de relatiile de mai sus
[tex]\angle{AEF}=\angle{AFE}[/tex] atunci triunghiul AEF este isoscel
AG stim ca este mediana in acest triunghi, din moment ce G este mijlocul laturii EF. Atunci AG va fi si bisectoarea unghiului BAC
Sa ducem bisectoarea unghiului BAC in triunghiul ABC si sa notam intersectia cu latura BC cu D. Atunci AD bisectoarea unghiului BAC. Cum si AG este bisectoarea unghiului BAC, inseamna ca AG si AD sunt coliniare, adica punctele A,G si D sunt coliniare.
AD este bisectoare in triunghiul isoscel ABC, dar asta inseamna ca AD este si mediana.
G este centrul de greutate al triunghiului, atunci stim ca
[tex]\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}[/tex] centrul de greutate este situat la doua treimi de varg din intreaga dimensiune a medianei
Ne uitam la triunghiurile AEG si BAD. In primul rand stim deja ca au unghiurle egale
[tex]\angle{ABC}=\angle{ABD}=\angle{AEF}=\angle{AEG}[/tex]
Mai vedem ca au un unghi comun egal, si anume jumatate din unghiul BAC
[tex]\angle{BAD}=\angle{EAG}=\frac{1}{2}\angle{BAC}[/tex]
Dar daca au 2 unghiuri egale, inseamna ca si al treilea unghi in parte este congruent, daca toate unghiurile sunt congruente, atunci triunghiurile ABD si AEG sunt asemenea cu laturile opuse unghiurilor congruente proportionale, adica
[tex]\frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AD}=\frac{EG}{AD}=\frac{2}{3}[/tex]
2) am spus ca AD mediana, adica D este mijlocul lui BC, si stim ca G este mijlocul lui EF, atunci
[tex]EG=\frac{1}{2}EF[/tex]
[tex]AD=\frac{1}{2}BC[/tex]
Si am vazut mai sus ca
[tex]\frac{EG}{AD}=\frac{\frac{1}{2}EF}{\frac{1}{2}BC}=\frac{EF}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF=\frac{2}{3}*BC=\frac{2}{3}*12=2*4=8[/tex]
3) G mijlocul lui EF, atunci GF=EG, iar
[tex]AD=\frac{1}{2}BC\Rightarrow BC=2AD[/tex]
[tex]\frac{GF}{BC}=\frac{EG}{2AD}=\frac{1}{2}*\frac{EG}{BC}=\frac{1}{2}*\frac{2}{3}=\frac{1}{3}[/tex]
1) AB este secanta dreptelor paralele EF si BC. Stim ca pentru o secanta, unghiurile alterne interne sunt egale adica
[tex]\angle{ABC}=\angle{AEF}[/tex]
2) AC este secanta dreptelor paralele EF si BC. Stim ca pentru o secanta, unghiurile alterne interne sunt egale adica
[tex]\angle{ACB}=\angle{AFE}[/tex]
Dar stim ca intr-un triunghi isoscel unghiurile opuse laturilor congruente sunt tot congruente, atunci:
[tex]\angle{ACB}=\angle{ABC}[/tex] Deci folosindu-ne si de relatiile de mai sus
[tex]\angle{AEF}=\angle{AFE}[/tex] atunci triunghiul AEF este isoscel
AG stim ca este mediana in acest triunghi, din moment ce G este mijlocul laturii EF. Atunci AG va fi si bisectoarea unghiului BAC
Sa ducem bisectoarea unghiului BAC in triunghiul ABC si sa notam intersectia cu latura BC cu D. Atunci AD bisectoarea unghiului BAC. Cum si AG este bisectoarea unghiului BAC, inseamna ca AG si AD sunt coliniare, adica punctele A,G si D sunt coliniare.
AD este bisectoare in triunghiul isoscel ABC, dar asta inseamna ca AD este si mediana.
G este centrul de greutate al triunghiului, atunci stim ca
[tex]\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}[/tex] centrul de greutate este situat la doua treimi de varg din intreaga dimensiune a medianei
Ne uitam la triunghiurile AEG si BAD. In primul rand stim deja ca au unghiurle egale
[tex]\angle{ABC}=\angle{ABD}=\angle{AEF}=\angle{AEG}[/tex]
Mai vedem ca au un unghi comun egal, si anume jumatate din unghiul BAC
[tex]\angle{BAD}=\angle{EAG}=\frac{1}{2}\angle{BAC}[/tex]
Dar daca au 2 unghiuri egale, inseamna ca si al treilea unghi in parte este congruent, daca toate unghiurile sunt congruente, atunci triunghiurile ABD si AEG sunt asemenea cu laturile opuse unghiurilor congruente proportionale, adica
[tex]\frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AD}=\frac{EG}{AD}=\frac{2}{3}[/tex]
2) am spus ca AD mediana, adica D este mijlocul lui BC, si stim ca G este mijlocul lui EF, atunci
[tex]EG=\frac{1}{2}EF[/tex]
[tex]AD=\frac{1}{2}BC[/tex]
Si am vazut mai sus ca
[tex]\frac{EG}{AD}=\frac{\frac{1}{2}EF}{\frac{1}{2}BC}=\frac{EF}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF=\frac{2}{3}*BC=\frac{2}{3}*12=2*4=8[/tex]
3) G mijlocul lui EF, atunci GF=EG, iar
[tex]AD=\frac{1}{2}BC\Rightarrow BC=2AD[/tex]
[tex]\frac{GF}{BC}=\frac{EG}{2AD}=\frac{1}{2}*\frac{EG}{BC}=\frac{1}{2}*\frac{2}{3}=\frac{1}{3}[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!