Răspuns :
Stim ca un nr la patrat are valoarea minima 0
[tex]a^{2}\geq0[/tex]
cu caz de egalitate daca a=0
Ne uitam la continutul fiecarui radical in parte si vedem valoarea lui minima
[tex]x^{2}-2x+10=x^{2}-2x+1+9=(x-1)^{2}+9[/tex]
Valoarea primului patrat minima este 0 asadar
[tex](x-1)^{2}+9\geq 0+9=9[/tex]Extragem radical
[tex]\sqrt{(x-1)^{2}+9}\geq \sqrt{9}=3[/tex](1)
Facem la fel pentru celelalte
[tex]y^{2}-4x+20=y^{2}-4x+4+16=(y-2)^{2}+16[/tex]
Valoarea primului patrat minima este 0 asadar
[tex](y-2)^{2}+16\geq 0+16=16[/tex]Extragem radical
[tex]\sqrt{(y-2)^{2}+16}\geq \sqrt{16}=4[/tex](2)
[tex]z^{2}-6x+90=x^{2}-6z+9+81=(z31)^{2}+81[/tex]
Valoarea primului patrat minima este 0 asadar
[tex](z-3)^{2}+81\geq 0+81=81[/tex]Extragem radical
[tex]\sqrt{(z-3)^{2}+81}\geq \sqrt{81}=9[/tex](3)
Adunam acum cele 3 inegalitati obtinute (1) (2) (3)
[tex]\sqrt{(x-1)^{2}+9}+\sqrt{(y-2)^{2}+16}+\sqrt{(z-3)^{2}+81}\geq 3+4+9=16[/tex]
deci suma celor 3 radicali va fi intotdeauna mai mare decat 16 cu exceptia cazului in care cele 3 patrate sunt egale cu 0.
Atunci avem solutia unica
[tex]x-1=0\Rightarrow x=1[/tex]
[tex]y-2=0\Rightarrow y=2[/tex]
[tex]z-3=0\Rightarrow z=3[/tex]
[tex]a^{2}\geq0[/tex]
cu caz de egalitate daca a=0
Ne uitam la continutul fiecarui radical in parte si vedem valoarea lui minima
[tex]x^{2}-2x+10=x^{2}-2x+1+9=(x-1)^{2}+9[/tex]
Valoarea primului patrat minima este 0 asadar
[tex](x-1)^{2}+9\geq 0+9=9[/tex]Extragem radical
[tex]\sqrt{(x-1)^{2}+9}\geq \sqrt{9}=3[/tex](1)
Facem la fel pentru celelalte
[tex]y^{2}-4x+20=y^{2}-4x+4+16=(y-2)^{2}+16[/tex]
Valoarea primului patrat minima este 0 asadar
[tex](y-2)^{2}+16\geq 0+16=16[/tex]Extragem radical
[tex]\sqrt{(y-2)^{2}+16}\geq \sqrt{16}=4[/tex](2)
[tex]z^{2}-6x+90=x^{2}-6z+9+81=(z31)^{2}+81[/tex]
Valoarea primului patrat minima este 0 asadar
[tex](z-3)^{2}+81\geq 0+81=81[/tex]Extragem radical
[tex]\sqrt{(z-3)^{2}+81}\geq \sqrt{81}=9[/tex](3)
Adunam acum cele 3 inegalitati obtinute (1) (2) (3)
[tex]\sqrt{(x-1)^{2}+9}+\sqrt{(y-2)^{2}+16}+\sqrt{(z-3)^{2}+81}\geq 3+4+9=16[/tex]
deci suma celor 3 radicali va fi intotdeauna mai mare decat 16 cu exceptia cazului in care cele 3 patrate sunt egale cu 0.
Atunci avem solutia unica
[tex]x-1=0\Rightarrow x=1[/tex]
[tex]y-2=0\Rightarrow y=2[/tex]
[tex]z-3=0\Rightarrow z=3[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!