Ai imaginea atasata mai jos
ne uitam la triunghiurile OAM si OBM. Stim ca: OA=OB, OM latura comuna
[tex]\angle{AOM}=\angle{BOM}=\frac{1}{2}\angle{O}[/tex] din moment ce OM este bisectoarea unghiului. Atunci avem un caz de congruenta intre cele 2 triunghiuri de tip LUL(latura,unghi,latura) de unde rezulta ca si unghiurile opuse laturilor OA,OB sunt congruente adica
[tex]\angle{OMB}=\angle{OMA}[/tex]
si laturile ramase vor fi congruente
[tex]AM=BM[/tex]
Ne uitam acum la unghiurile OMD si OMC
[tex]\angle{OMD}=\angle{OMB}+\angle{BMD}[/tex]
[tex]\angle{OMC}=\angle{OMA}+\angle{AMC}[/tex]
Dar stim ca AD si BC se intersecteaza in M, atunci unghiurile opuse la varf vor fi egale
[tex]\angle{BMD}=\angle{AMC}[/tex]
Din ultimele 3 relatii, rezulta ca
[tex]\angle{OMD}=\angle{OMC}[/tex](1)
OM bisecoarea unghiului O si C si D sunt la randul lor pe semidrepte
[tex]\angle{DOM}=\angle{COM}=\frac{1}{2}\angle{O}[/tex](2)
OM latura comuna(3). Din 1,2,3 rezulta ca si triunghiurile OMD si OMC sunt congruente cu un caz ULU(unghi,latura,unghi). Atunci laturile opuse unghiurilor congruente OMD si OMC, deci OC=OD
Uitandu-nse la segmentele de pe OC si OD
[tex]OC=OA+AC=OD=OB+DB=OA+DB\Rightarrow AC=DB[/tex]
De asemenea, si laturile opuse unghiurilor egale din bisectoare vor fi egale adica MC=MD
Deci avem: MC=MD,AM=BM si BD=AC, rezulta atunci ca MBD si MAC sunt triunghiuri congruente cazul LLL(latura,latura,latura)
