Sa presupunem ca avem trapezul ABCD cu AB||CD precum in imaginea de mai jos, diagonalele AC si BD inaltimile trapezului AM si BN. Presupunem ca nu stim ce proprietati are trapezul, dar stim ca diagonalele sunt congruente: AC=BD
AM si BN sunt distante dintre 2 drepte paralele. Stim ca distanta dintre 2 drepte paralele este aceeasi indiferent de capete, atunci AM=BN
AM este perpendiculat pe CD, atunci triunghiul AMC este dreptunghic cu catetele AM si MC si ipotenuza AC. Atunci
[tex]AM^{2}+MC^{2}=AC^{2}\Rightarrow MC^{2}=AC^{2}-AM^{2}[/tex]
[tex]BN^{2}+DN^{2}=BD^{2}\Rightarrow DN^{2}=BD^{2}-BN^{2}=AC^{2}-AM^{2}=MC^{2}\Rightarrow DN=MC[/tex]
Dar DN si MC pot fi scrise ca
[tex]DN=MD+MN=MC=MN+CN\Rightarrow MD=CN[/tex]
AM este perpendicular si pe DM atunci triunghiul AMD este dreptunghic in M cu catetele AM si MD si ipotenuza AD. Prin teorema lui Pitagora
[tex]AM^{2}+DM^{2}=AD^{2}[/tex]
BN perpendicular pe CD, atunci avem triunghiul dreptunghic BNC cu catetele BN si CN si ipotenuza BC Prin teorema lui Pitagora
[tex]BN^{2}+CN^{2}=AM^{2}+DM^{2}=BC^{2}[/tex]
Atunci rezulta ca
[tex]AD=BC[/tex] deci trapezul ABCD este trapez isoscel.
Acum luam in considerare triunghiul OCD. sa consideram ca AC si BD sunt mediane congruente. Daca sunt mediane, atunci A si B sunt mijloacele laturilor OD si OC
[tex]AD=\frac{1}{2}OD[/tex]
[tex]BC=\frac{1}{2}OC[/tex]
Am demonstrat ca daca diagonalele sunt congruente, atunci trapezul este isoscel adica
[tex]AD=BC\Rightarrow \frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}OC\Rightarrow OD=OC[/tex] deci OCD este triunghi isoscel
