Răspuns :
Sa notam suma ce trebuie demonstrata cu P
[tex]P=\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}[/tex]
Observam ca un ecuatia initiala putem face urmatoarele artificii de calcul
[tex]\frac{x}{x+y}=\frac{x+y-y}{x+y}=1-\frac{y}{x+y}[/tex]
[tex]\frac{y}{y+z}=\frac{y+z-z}{y+z}=1-\frac{z}{y+z}[/tex]
[tex]\frac{z}{z+x}=\frac{z+x-x}{z+x}=1-\frac{x}{z+x}[/tex]
Si acum le putem adunam pe toate 3
[tex]\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}=3-(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x})=1\Rightarrow 3-P=1\Rightarrow P=3-1=2[/tex] deci este un nr natural
2) Ne uitam la numarator si vedem cat da
[tex]\overline{a1b}=100a+10*1+b[/tex]
[tex]\overline{a2b}=100a+10*2+b[/tex]
...........................................................
[tex]\overline{a9b}=100a+10*9+b[/tex]
Observam ca apar de 9 ori asa ca o sa avem
[tex]\overline{a1b}+\overline{a2b}+...+\overline{a9b}=9*100a+10*(1+2+..+9)+9b=9*100a+10*\frac{9*10}{2}+9b=9(100a+\frac{100}{2}+b)=9(100a+50+b)[/tex]
Dar stim ca
[tex]\overline{a5b}=100a+5*10+b=100a+50+b[/tex]
Deci cand impartim cele doua obtinem
[tex]\frac{\overline{a1b}+\overline{a2b}+...+\overline{a9b}}{\overline{a5b}}=\frac{9(100a+50+b)}{100a+50+b}=9=3^{2}[/tex] deci e patrat perfect
[tex]P=\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}[/tex]
Observam ca un ecuatia initiala putem face urmatoarele artificii de calcul
[tex]\frac{x}{x+y}=\frac{x+y-y}{x+y}=1-\frac{y}{x+y}[/tex]
[tex]\frac{y}{y+z}=\frac{y+z-z}{y+z}=1-\frac{z}{y+z}[/tex]
[tex]\frac{z}{z+x}=\frac{z+x-x}{z+x}=1-\frac{x}{z+x}[/tex]
Si acum le putem adunam pe toate 3
[tex]\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}=3-(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x})=1\Rightarrow 3-P=1\Rightarrow P=3-1=2[/tex] deci este un nr natural
2) Ne uitam la numarator si vedem cat da
[tex]\overline{a1b}=100a+10*1+b[/tex]
[tex]\overline{a2b}=100a+10*2+b[/tex]
...........................................................
[tex]\overline{a9b}=100a+10*9+b[/tex]
Observam ca apar de 9 ori asa ca o sa avem
[tex]\overline{a1b}+\overline{a2b}+...+\overline{a9b}=9*100a+10*(1+2+..+9)+9b=9*100a+10*\frac{9*10}{2}+9b=9(100a+\frac{100}{2}+b)=9(100a+50+b)[/tex]
Dar stim ca
[tex]\overline{a5b}=100a+5*10+b=100a+50+b[/tex]
Deci cand impartim cele doua obtinem
[tex]\frac{\overline{a1b}+\overline{a2b}+...+\overline{a9b}}{\overline{a5b}}=\frac{9(100a+50+b)}{100a+50+b}=9=3^{2}[/tex] deci e patrat perfect
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!