Răspuns :
2 numere sunt prime intre ele daca cel mai mare divizor comun al lor este 1.
(a,b)=1. Pentru a rezolva acest exercitiu, il desparti pe 12 in factori primi, si apoi numeri toate numerele din interval care nu au vreun factor prim comun cu factorii primi ai lui 12
[tex]12=2^{2}*3[/tex] deci 5 este prim cu 12, dar 8 nu este[tex]8=2^{3}[/tex] deci are un factor prim comun, si anume 2.
Toate numerele pare sunt divizibile cu 2, deci numerele pare sunt excluse din start. Sunt in total: 25:2=12 numere pare, deci acestea sunt excluse
Acum mai excludem si multiplii lui 3 care sunt in numar de 25/3=8 divizori, adica 3*1,3*2,3*3..3*8
Dar vezi ca unii dintre termenii acestia sunt si pari, deci deja i-am exclus, singurii termeni care mai raman sunt 3*1 3*3 3*5 3*7
Avem atunci
[tex]cazuri nefavorabile=12+4=16[/tex] si am spus cazuri nefavorabile pentru ca pe acestea vrem sa le excludem
Acum ne uitam cate sunt cazuri favorabile
[tex]cazuri favorabile=25-16=9[/tex] Daca vrei le si pot enumera: 1,5,7,11,13,17,19,23,25
Dar de obicei e bine sa gandesti asa algoritmic, sa vezi care sunt multiplii de factori primi si sa-i elimini din sir, sunt cazuri in care nu le poti numara pe toate.
Si atunci probabilitatea este
[tex]P=\frac{cazuri favorabile}{cazuri totale}=\frac{9}{25}[/tex]
2) Daca o ecuatie are radacina x=2 atunci f(2)=0. Deci inlocuim pe x cu 2 in ecuatie si-l aflam pe m
[tex](m-5)*4-4*2m+m-2=4m-20-8m+m-2=-3m-22=0\Rightarrow m=\frac{22}{3}[/tex]
3) C este multimea numerelor complexe. un numar complez z se scre sub forma
[tex]z=a+ib[/tex] unde a si b sunt numere reale, iar i este un numar imaginare care are proprietatea ca [tex]\sqrt{-1}=i[/tex] dupa cum stii in multimea numerelor reale nu poti sa ai radical din nr negativ. Ei bine in C, in numere complexe poti, si atunci ai de asemenea [tex]i^{2}=-1[/tex] adica un numar la patrat este negativ, de aceea se numeste imaginar.
De aici rezulta ca[tex]-i^{2}=1[/tex] Si de asta o sa ne folosim noi in ecuatie
O sa ne mai folosim de faptul ca
[tex]a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)[/tex]
[tex]S=16x^{4}+1*81=16x^{4}-i^{2}*81=(4x^{2}-9i)(4x^{2}+9i)=(2x-3\sqrt{i})(2x+3\sqrt{i})(4x^{2}-i^{2}*9i)=(2x-3\sqrt{i})(2x+3\sqrt{i})(2x-3i\sqrt{i})*(2x+3i\sqrt{i})[/tex]
Deci avem solutiile
[tex]x1=\frac{3\sqrt{i}}{2}[/tex]
[tex]x2=-\frac{3\sqrt{i}}{2}[/tex]
[tex]x3=\frac{3i\sqrt{i}}{2}[/tex]
[tex]x4=-\frac{3i\sqrt{i}}{2}[/tex]
d) Vedem mai intai intersectia a doua drepte, si apoi verificam daca a treia trece tot pe-acolo. presupunem ca avem punctul A(a,b) comun dreptelor d1 si d2. Atunci, inlocuim pe x cu a, si pe y cu b, si rezolvam sistemul de ecuatii
[tex]d1:a+2b=6\Rightarrow 2b=-6-a\Rightarrow b=\frac{-6-a}{2}=-\frac{6+a}{2}[tex]
Inlocuim acum in ecuatia a doua pe b
[tex]d2:2a+b+6=2a-\frac{6+a}{2}+6=0\Rightarrow 4a-6-a+12=0\Rightarrow 3a+6=0\Rightarrow a=-\frac{6}{3}=-2[/tex]
Atunci inseamna ca
[tex]b=-\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=-2[/tex]
deci punctul ar fi A(-2,2) Daca toate trei dreptele ar fi concurente, inseamna ca si la dreapta d3 l-ar contine pe A, adica inlocuind pe x si y in ecuatia dreptei 3 cu -2 si 2, obtinem tot 0. Sa vedem ce se intampla daca facem asta
[tex]3*(-2)+2*(-2)+10=-6-4+10=-10+10=0[/tex]
Deci intr-adevar A este concurenta celor 3 drepte
5) Avem urmatoarea relatie: orice ecuatie te tipul tgx=a admite solutia
x=arctg(a)+k*pi, unde k este un nr intreg. arctg este functia inversa tangentei si perioada functiei este pi, asadar adunand sau scazand cu un multiplu de pi, obtii tot o solutie. In cazul nostru
[tex]tg\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{x}{2}=arctg\frac{1}{2}+k\pi\Rightarrow x=2arctg\frac{1}{2}+2k\pi[/tex]
(a,b)=1. Pentru a rezolva acest exercitiu, il desparti pe 12 in factori primi, si apoi numeri toate numerele din interval care nu au vreun factor prim comun cu factorii primi ai lui 12
[tex]12=2^{2}*3[/tex] deci 5 este prim cu 12, dar 8 nu este[tex]8=2^{3}[/tex] deci are un factor prim comun, si anume 2.
Toate numerele pare sunt divizibile cu 2, deci numerele pare sunt excluse din start. Sunt in total: 25:2=12 numere pare, deci acestea sunt excluse
Acum mai excludem si multiplii lui 3 care sunt in numar de 25/3=8 divizori, adica 3*1,3*2,3*3..3*8
Dar vezi ca unii dintre termenii acestia sunt si pari, deci deja i-am exclus, singurii termeni care mai raman sunt 3*1 3*3 3*5 3*7
Avem atunci
[tex]cazuri nefavorabile=12+4=16[/tex] si am spus cazuri nefavorabile pentru ca pe acestea vrem sa le excludem
Acum ne uitam cate sunt cazuri favorabile
[tex]cazuri favorabile=25-16=9[/tex] Daca vrei le si pot enumera: 1,5,7,11,13,17,19,23,25
Dar de obicei e bine sa gandesti asa algoritmic, sa vezi care sunt multiplii de factori primi si sa-i elimini din sir, sunt cazuri in care nu le poti numara pe toate.
Si atunci probabilitatea este
[tex]P=\frac{cazuri favorabile}{cazuri totale}=\frac{9}{25}[/tex]
2) Daca o ecuatie are radacina x=2 atunci f(2)=0. Deci inlocuim pe x cu 2 in ecuatie si-l aflam pe m
[tex](m-5)*4-4*2m+m-2=4m-20-8m+m-2=-3m-22=0\Rightarrow m=\frac{22}{3}[/tex]
3) C este multimea numerelor complexe. un numar complez z se scre sub forma
[tex]z=a+ib[/tex] unde a si b sunt numere reale, iar i este un numar imaginare care are proprietatea ca [tex]\sqrt{-1}=i[/tex] dupa cum stii in multimea numerelor reale nu poti sa ai radical din nr negativ. Ei bine in C, in numere complexe poti, si atunci ai de asemenea [tex]i^{2}=-1[/tex] adica un numar la patrat este negativ, de aceea se numeste imaginar.
De aici rezulta ca[tex]-i^{2}=1[/tex] Si de asta o sa ne folosim noi in ecuatie
O sa ne mai folosim de faptul ca
[tex]a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)[/tex]
[tex]S=16x^{4}+1*81=16x^{4}-i^{2}*81=(4x^{2}-9i)(4x^{2}+9i)=(2x-3\sqrt{i})(2x+3\sqrt{i})(4x^{2}-i^{2}*9i)=(2x-3\sqrt{i})(2x+3\sqrt{i})(2x-3i\sqrt{i})*(2x+3i\sqrt{i})[/tex]
Deci avem solutiile
[tex]x1=\frac{3\sqrt{i}}{2}[/tex]
[tex]x2=-\frac{3\sqrt{i}}{2}[/tex]
[tex]x3=\frac{3i\sqrt{i}}{2}[/tex]
[tex]x4=-\frac{3i\sqrt{i}}{2}[/tex]
d) Vedem mai intai intersectia a doua drepte, si apoi verificam daca a treia trece tot pe-acolo. presupunem ca avem punctul A(a,b) comun dreptelor d1 si d2. Atunci, inlocuim pe x cu a, si pe y cu b, si rezolvam sistemul de ecuatii
[tex]d1:a+2b=6\Rightarrow 2b=-6-a\Rightarrow b=\frac{-6-a}{2}=-\frac{6+a}{2}[tex]
Inlocuim acum in ecuatia a doua pe b
[tex]d2:2a+b+6=2a-\frac{6+a}{2}+6=0\Rightarrow 4a-6-a+12=0\Rightarrow 3a+6=0\Rightarrow a=-\frac{6}{3}=-2[/tex]
Atunci inseamna ca
[tex]b=-\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=-2[/tex]
deci punctul ar fi A(-2,2) Daca toate trei dreptele ar fi concurente, inseamna ca si la dreapta d3 l-ar contine pe A, adica inlocuind pe x si y in ecuatia dreptei 3 cu -2 si 2, obtinem tot 0. Sa vedem ce se intampla daca facem asta
[tex]3*(-2)+2*(-2)+10=-6-4+10=-10+10=0[/tex]
Deci intr-adevar A este concurenta celor 3 drepte
5) Avem urmatoarea relatie: orice ecuatie te tipul tgx=a admite solutia
x=arctg(a)+k*pi, unde k este un nr intreg. arctg este functia inversa tangentei si perioada functiei este pi, asadar adunand sau scazand cu un multiplu de pi, obtii tot o solutie. In cazul nostru
[tex]tg\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{x}{2}=arctg\frac{1}{2}+k\pi\Rightarrow x=2arctg\frac{1}{2}+2k\pi[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!