[tex]a) \frac{1}{n(n+1)}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\
\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2004\cdot2005}=\\
\\
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}=\\
1-\frac{1}{2015}=\boxed{\frac{2014}{2015}}\\
\\
b)\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+\frac{2}{5\cdot 7}+....+\frac{2}{2003\cdot 2005}=\\
\\
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+.....+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2005}=\\
[/tex]
[tex]1-\frac{1}{2015}=\boxed{\frac{2014}{2015}}[/tex]
