👤
VLAD1014EZ
a fost răspuns

daca t=sin2u, sa se calculeze in functie de t expresia E=tg patrat de u + ctg patrat de u

Răspuns :

[tex]t=sin2u\\ t=2\cdot sin\ u\cdot cos\ u\\ sin\ u\cdot cos\ u=\frac{t}{2}|()^2\\ sin^2 u\cdot cos^2u=\frac{t^2}{4}(1)\\ ...................................\\ E=tg^2u+ctg^2u\\ \\ E=\frac{sin^2u}{cos^2u}+\frac{cos^2u}{sin^2u}\\ \\ E=\frac{sin^4u+cos^4u}{sin^2u\cdot cos^2u} \\ \\ E=\frac{(sin^2u+cos^2u)^2-2sin^2u\cdot cos^2u}{sin^2u\cdot cos^2u}\\ \\ E=\frac{1-2\cdot \frac{t^2}{4}}{\frac{t^2}{4}}\\ \\ E=(1-\frac{t^2}{2})\cdot \frac{4}{t^2}\\ \\ Asadar:\boxed{E=\frac{4}{t^2}-2} [/tex]
Scriem ecuatiile pentru sin2u si cos2u
[tex]\sin{2u}=2\sin{u}\cos{u}\Rightarrow\sin^{2}{2u}=4\sin^{2}{u}\cos^{2}{u}[/tex]
[tex]\cos{2u}=2\cos^{2}{u}-1\Rightarrow(\cos(2u)+1)=2\cos^{2}{u}\Rightarrow (\cos(2u)+1)^{2}=4\cos^{4}{u}[/tex]
Impartim cele 2 ecuatii acum ridicate la patrat
[tex]\frac{\sin^{2}{2u}}{(\cos(2u)+1)^{2}}=\frac{4\sin^{2}{u}\cos^{2}{u}}{4\cos^{4}{u}}=\frac{\sin^{2}{u}}{\cos^{2}{u}}=tg^{2}{u}[/tex]
Putem sa exprimam si cos2u cu ajutorul lui t
[tex]\sin^{2}{2u}+\cos^{2}{2u}=1\Rightarrow \cos^{2}{2u}=1-\sin^{2}{2u}=1-t^{2}\Rightarrow \cos{2u}=\sqrt{1-t^{2}}[/tex]
Deci obtinem ca
[tex]tg^{2}{u}=\frac{t^{2}}{(\sqrt{1-t^{2}}+1)^{2}}[/tex]
Expresia pentru cos2u mai poate fi scrisa si asa
[tex]\cos{2u}=1-2\sin^{2}{u}\Rightarrow(1-\cos(2u))=2\sin^{2}{u}\Rightarrow(\cos(2u)-1)^{2}=4\sin^{4}{u}[/tex]
Acum facem din nou raportul intre ele
[tex]\frac{\sin^{2}{2u}}{(\cos(2u)-1)^{2}}=\frac{4\sin^{2}{u}\cos^{2}{u}}{4\sin^{4}{u}}=\frac{\cos^{2}{u}}{\sin^{2}{u}}=ctg^{2}{u}[/tex]
Deci rezulta ca
[tex]ctg^{2}{u}=\frac{t^{2}}{(\sqrt{1-t^{2}}-1)^{2}}[/tex]
Deci expresia E poate fi scrisa ca
[tex]E=\frac{t^{2}}{(\sqrt{1-t^{2}}+1)^{2}}+\frac{t^{2}}{(\sqrt{1-t^{2}}-1)^{2}}[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari