Aria unui triunghi poate fi scrisa ca produs de laturi adiacente * sin unghi dintre ele/2
Stim ca mediana CD imparte triunghiul ABC in doua triunghiuri de arii egale:
ACD si BCD
[tex]A_{ACD}=A_{BCD}[/tex]
D este mijlocul lui AB, atunci AD=BD
Putem scrie aria lui ACD in functie de unghiul A si BCD in functie de unghiul B
[tex]\frac{\sin{A}*AD*AC}{2}=\frac{\sin{B}*BD*BC}{2}\Rightarrow \sin{A}*AC=\sin{B}*BC\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{\sin{B}}{\sin{A}}=x[/tex] notam raportul cu x, si stim valoarea lui x daca stim valorile lui A si B
Exprimam apoi aceleasi arii egale dar in functie de unghiurile ACD,BCD si laturile adiacente
[tex]\frac{\sin{ACD}*CD*AC}{2}=\frac{\sin{BCD}*CD*BC}{2}\Rightarrow \sin{ACD}*AC=\sin{BCD}*BC\Rightarrow \frac{\sin{BCD}}{\sin{ACD}}=\frac{AC}{BC}=x\Rightarrow \sin{BCD}=x\sin{ACD}[/tex]
Se poate calcula sinC
[tex]\sin{C}=\sin{(180-(A+B))}=\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=y[/tex] stim A si B deci toate acele marimi pot fi aflate
mai stim ca
[tex]\angle{C}=\angle{ACD}+\angle{BCD}[/tex]
Si atunci stim ca
[tex]\sin{C}=\sin{(ACD+BCD)}=\sin{ACD}\cos{BCD}+\cos{ACD}\sin{ACD}=y[/tex]
Daca
[tex]\sin{BCD}=x\sin{ACD}[/tex] atunci
[tex]\cos{BCD}=\sqrt{1-\sin^{2}{BCD}}=\sqrt{1-x^{2}\sin^{2}{ACD}}[/tex]
iar
[tex]\cos{ACD}=\sqrt{1-\sin^{2}{ACD}}[/tex] facem si notatia
[tex]\sin{ACD}=z[/tex] si obtinem
[tex]z\sqrt{1-x^{2}z^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}*z*x=y[/tex] Din aceasta relatie, cunosti pe x si y, deci se poate afla z
Odata aflat z, poti sa afli pe ACD
Si atunci [tex]\angle{ADC}=180-\angle{A}-\angle{ACD}[/tex]
E o metoda foarte intortocheata, dar e singurul lucru care mi-a venit acum in minte.
