Din teorema lui Pitagora putem afla latura patratului. Stim ca toate laturile unui patrat sunt egale AB=BC=CD=AD=l atunci
[tex]AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=l^{2}+l^{2}=2l^{2}=8^{2}*2\Rightarrow l=8[/tex]
Ne uitam la trunghiurile formate APD si PMC. AC actioneaza ca o bisectoare in patrat deci imparte unghiurile drepte in unghiuri de 45 grade, deci stim ca
[tex]\angle{DAP}=\angle{PCM}=45[/tex]
Si dreptele AC si DM se intersecteaza in P, atunci unghiurile formate in P sunt opuse la varf si congruente
[tex]\angle{APD}=\angle{MPC}[/tex]
daca 2 cate 2 unghiuri sunt congruente, inseamna ca si ultimul din fiecare este congruente si inseamna ca triunghiurile APD si PMC sunt asemenea. M este mijlocul lui BC, asadar [tex]MC=\frac{BC}{2}=\frac{l}{2}[/tex]
Laturile a doua triunghiuri asemenea sunt proportionale asadar
[tex]\frac{AD}{MC}=\frac{AP}{CP}=\frac{l}{\frac{l}{2}}=2\Rightarrow AP=2CP[/tex]
dar AP si CP formeaza impreuna diagonala AC
[tex]AP+CP=2CP+CP=3CP=AC\Rightarrow CP=\frac{AC}{3}=\frac{8\sqr{2}}{3}[/tex]
Iar AP este [tex]AP=2CP=\frac{16\sqrt{2}}{3}[/tex]
