👤
MINIONII2015EZ
a fost răspuns

Calculati sumele:
"^" la puterea
"/" supra
1. 1 + 1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^100
2. 1+1/a+1/a^2+1/a^3+...+1/a^n
3. 1/1×2+1/2×3+...+1/n×(n+1), n apartine de multimea numerelor nat.
VA ROG ORICARE PUNCT REZOLVAT, MA AJUTA!! VA ROG!!


Răspuns :

ICECON2005EZ
3. 1/1×2+1/2×3+...+1/n×(n+1), n apartine de multimea numerelor nat.
1/1×2=1/1-1/2
1/2×3=1/2-1/3
1/3×4=1/3-1/4
......
1/n×(n+1)=1/n-1/(n+1)

se aduna toate fractiile

 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 +1/3 -1/4 + ... +1/n-1 - 1/n +1/n - 1/n+1
si dupa reducerea termenilor asemenea mai raman:(primul si ultimul termen)

1/1-1/n+1se aduce la acelasi numitor si va ramane: n/n+1

(n+1-1)/n+1=n/n+1
[tex]1.S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+....+\frac{1}{2^{100}} |\cdot \frac{1}{2}\\ \frac{S}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{101}}\\ ............................................-\\ S-\frac{S}{2}=1-\frac{1}{2^{101}}\\ \frac{S}{2}=\frac{2^{101}-1}{2^{101}} |\cdot 2 \\ \boxed{S=\frac{2^{101}-1}{2^{100}}}\\ \\ 2.S=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+...+\frac{1}{a^n} |\cdot \frac{1}{a}\\ \frac{S}{a}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+....+\frac{1}{a^{n+1}}\\ [/tex]
[tex]............................................-\\ S-\frac{S}{a}=1-\frac{1}{a^{n+1}}\\ \frac{aS-S}{a}=\frac{a^{n+1}-1}{a^{n+1}}|\cdot a\\ S(a-1)=\frac{a^{n+1}-1}{a^n}\\ \boxed{S=\frac{a^{n+1}-1}{a^n\cdot(a-1)}}}\\ \\ 3.\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{1}{n(n+1)}\\ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\\ 1-\frac{1}{n+1}=\boxed{\frac{n}{n+1}}[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari