Ca ecuatia sa aiba solutii reale trebuie ca delta sa fie mai mare sau egal ca 0 . Calculam delta : (3a - 1) ^ 2 - 4 * a * (a + 3) = 9a^2 - 6a + 1 - 4a^2 - 12a = 5a^2 - 18a + 1 . Am obtinut o noua ecuatie , de data aceasta in a . Calculam delta pentru aceasta ecuatie : (- 18) ^ 2 - 4 * 5 * 1 = 324 - 20 = 304 . 304 este egal cu 16 * 19 , deci radical din 304 este egal cu radical din 16 * 19 = 4 * radical din 19 . Calculam a1 si a2 : a1,2 = (18 + - 4radical din 19) / 10 = [ 2 * ( 9 + - 2radical din 19 ) ] / 10 = ( 9 + - 2radical din 19 ) / 5 . Facem un tabel de semn pentru 5a^2 - 18a + 1 : pe prima linie trecem a si valorile gasite pentru a , intai ( 9 - 2radical din 19) / 5 si putin mai incolo ( 9 + 2radical din 19) / 5 ; iar pe al doilea rand trecem 5a^2 - 18a + 1 si sub fiecare dintre cele 2 valori gasite pentru a si trecute pe primul rand scriem 0 , pentru ca pentru aceste valori 5a^2 - 18a + 1 = 0 . Acum ne gandim la semnul functiei de gradul al doilea , in cazul in care avem 2 radacini reale : intre cele 2 radacini avem semn contrar lui a (adica coeficientul lui x^2 din ax^2 +bx +c = 0) iar inaintea primei radacini si dupa a doua radacina semnul lui a . In cazul nostru , semnul este dat de coeficientul lui a^2 din 5a^2 - 18a + 1 = 0 , adica de 5 , care e pozitiv , deci in tabelul de semn trecem plus inaintea primei radacini si dupa a doua radacina si minus intre cele 2 radacini . Deci ecuatia ax^2 + (3a-1)x + a + 3 = 0 are solutii reale pentru a apartinand intervalului ( - infinit , (9 - 2radical din 19) / 5 ) reunit cu ( (9 + 2radical din 19) / 5 , + infinit ) .
