Răspuns :
Cred ca mi-am dat seama cum se face.
Scriem mai intai teorema sinusurilor
[tex]\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R=2*2=4[/tex] de unde rezulta ca
[tex]a=4\sin{A}[/tex]
[tex]b=4\sin{B}[/tex]
[tex]c=4\sin{C}[/tex]
Aria unui triunghi poate fi scrisa in 2 moduri
[tex]S=\frac{a*h_{a}}{2}=\frac{abc}{4R}=\frac{abc}{4*2}\Rightarrow h_{a}=\frac{bc}{4}=\frac{4\sin{B}*4\sin{C}}{4}=4\sin{B}\sin{C}[/tex] sin B si sin C nu pot fi concomitent egale cu 1, deoarece asta ar insemna ca B=90grade si C=90 grade, lucru imposibil, atunci
[tex]h_{a}<4[/tex]
In mod similar se poate arata ca
[tex]h_{b}<4[/tex]
[tex]h_{c}<4[/tex]
Stim ca cele trei numere sunt intregi, deci inaltimile vor apartine multimii {1,2,3} pentru ca inaltimea nu poate sa fie 0 sau negativa si nici nu poate fi mai mare decat 4.
I) Sa presupunem ca ar fi toate trei diferite intre ele: atunci suntem obligati sa avem o egalitate ca cea de mai jos
[tex]h_{a}=1[/tex]
[tex]h_{b}=2[/tex]
[tex]h_{c}=3[/tex]
Nu o sa conteze daca le iei apoi in alta ordine
Din formulele ariilor o sa avem atunci urmatoarea expresie
[tex]a*h_{a}=b*h_{b}=c*h_{c}=2S[/tex] de unde rezulta ca
[tex]a=\frac{2S}{h_{a}}=\frac{2S}{1}=2S[/tex]
[tex]b=\frac{2S}{h_{b}}=\frac{2S}{2}=S[/tex]
[tex]c=\frac{2S}{h_{c}}=\frac{2S}{2}=\frac{2S}{3}[/tex]
Observam atunci ca avem cazul
[tex]b+c=S+\frac{2S}{3}=\frac{3S+2S}{3}=\frac{5S}{6}<\frac{6S}{6}=S=a[/tex]
Deci ajungem la relatia
[tex]b+c<a[/tex] care incalca inegalitatea triunghiului, deci nu pot forma un triunghi, inaltimile nu pot fi distincte 2 cate 2
II) Presupunem ca 2 inaltimi sunt egale intre ele dar diferite fata de a treia inaltime. Sa zicem atunci ca
[tex]h_{a}=h_{b}[/tex] DAR
[tex]h_{a}\neq h_{c}[/tex] atunci
[tex]a*h_{a}=b*h_{b}=b*h_{a}\Rightarrow a=b[/tex] deci triunghiul este isoscel
Mai stim ca aria lui S poate fi exprimata si asa
[tex]2S=c*h_{c}=a*b*\sin{C}=a^{2}*\sin{C}[/tex]
Dar stim din relatia de mai sus pentru teorema sinusurilor ca
[tex]c=4\sin{C}[/tex]
Si atunci relatia devine
[tex]4\sin{C}h_{c}=a^{2}*\sin{C}\Rightarrow a=2\sqrt{h_{c}}[/tex]
Mai stim ca
[tex]a=b\Rightarrow 4\sin{A}=4\sin{B}\Rightarrow \sin{A}=\sin{B}\Rightarrow A=B[/tex]
Si atunci putem calcula si pe C
[tex]C=\pi-A-B=\pi-2A\Rightarrow \sin{C}=\sin{\pi-2A}=\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}[/tex]
Ceea ce inseamna ca latura c poate fi scrisa in 2 feluri
[tex]a*h_{a}=c*h_{c}\Rightarrow c=\frac{a*h_{a}}{h_{c}}[/tex]
si
[tex]c=4\sin{C}=8\cos{A}\sin{A}[/tex]
Daca stim ca ha si hb sunt egale intre ele si hc este distinct, avem urmatoarele cazuri
1) [tex]h_{c}=1[/tex]
Atunci
[tex]a=2\sqrt{h_{c}}=2\sqrt{1}=2[/tex]
atunci rezulta ca
[tex]\sin{A}=\frac{a}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow A=30[/tex]
Atunci stim cat este si cos A
[tex]\cos{A}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Si rezulta atunci ca
[tex]c=8\sin{A}\cos{A}=8\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}[/tex]
Dar am stabilit deja ca
[tex]c=\frac{a*h_{a}}{h_{c}}=a*h_{a}=2h_{a}=2\sqrt{3}\Rightarrow h_{a}=\sqrt{3}[/tex]
Deci ar reiesi ca inaltimea este un numar irational, dar noi stim ca este un nr intreg, deci acest caz e imposibil
2) [tex]h_{c}=2[/tex]
Atunci avem
[tex]a=2\sqrt{h_{c}}=2\sqrt{2}[/tex]
Atunci avem
[tex]\sin{A}=\frac{a}{4}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow A=45[/tex]
dar stim ca pentru A=45 avem
[tex]\cos{A}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
si rezulta atunci ca
[tex]c=8\sin{A}\cos{A}=8\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}=2*2=4[/tex]
Dar am stabilit deja ca
[tex]c=\frac{a*h_{a}}{h_{c}}=\frac{2\sqrt{2}*h_{a}}{2}=h_{a}*\sqrt{2}=4\Rightarrow h_{a}=2\sqrt{2}[/tex] dar stim ca inaltimile sunt intregi, acesta este un numar irational, deci nu este o solutie
3)
[tex]h_{c}=3[/tex]
Atunci avem
[tex]a=2\sqrt{h_{c}}=2\sqrt{3}[/tex]
Atunci avem
[tex]\sin{A}=\frac{a}{4}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A=60[/tex]
Dar tocmai am determinat ca un unghi al unui triunghi isoscel are 60 de grade, deci triunghiul este echilateral. Dar daca triunghiul este echilateral atunci stim ca
[tex]a=b=c[/tex] deci
[tex]c=\frac{a*h_{a}}{h_{c}}=a\Rightarrow \frac{h_{a}}{h_{c}}=1\Rightarrow h_{a}=h_{c}[/tex] dar daca iti aduci aminte noi am pornit de la presupunerea ca ha si hc sunt diferite intre ele
[tex]h_{a}\neq h_{c}[/tex] atunci se incalca conditia pusa si nu se mai ia in considerare
III) Ne-a mai ramas o singura varianta: faptul ca toate cele 3 inaltimi sunt egale
[tex]h_{a}=h_{b}=h_{c}[/tex] Atunci din teorema sinsurilor se demonstreaza rapid ca triunghiul este echilateral
[tex]a*h_{a}=b*h_{b}=b*h_{a}\Rightarrow a=b[/tex] si
[tex]a*h_{a}=c*h_{c}=c*h_{a}\Rightarrow a=c[/tex]
Deci a=b=c. Atunci inseamna ca
[tex]a=b=c=4\sin{A}=4\sin{60}=4\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}[/tex]
Mai ramane sa verificam ca toate inaltimile sunt intregi. Dar stim ca in general intr-un triunghi echilateral inaltimea are formula
[tex]h=\frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex]
unde l este latura triunghiului
In cazul nostru
[tex]h_{a}=h_{b}=h_{c}=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\sqrt{3}}{2}=3[/tex] deci sunt intregi.
Scriem mai intai teorema sinusurilor
[tex]\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R=2*2=4[/tex] de unde rezulta ca
[tex]a=4\sin{A}[/tex]
[tex]b=4\sin{B}[/tex]
[tex]c=4\sin{C}[/tex]
Aria unui triunghi poate fi scrisa in 2 moduri
[tex]S=\frac{a*h_{a}}{2}=\frac{abc}{4R}=\frac{abc}{4*2}\Rightarrow h_{a}=\frac{bc}{4}=\frac{4\sin{B}*4\sin{C}}{4}=4\sin{B}\sin{C}[/tex] sin B si sin C nu pot fi concomitent egale cu 1, deoarece asta ar insemna ca B=90grade si C=90 grade, lucru imposibil, atunci
[tex]h_{a}<4[/tex]
In mod similar se poate arata ca
[tex]h_{b}<4[/tex]
[tex]h_{c}<4[/tex]
Stim ca cele trei numere sunt intregi, deci inaltimile vor apartine multimii {1,2,3} pentru ca inaltimea nu poate sa fie 0 sau negativa si nici nu poate fi mai mare decat 4.
I) Sa presupunem ca ar fi toate trei diferite intre ele: atunci suntem obligati sa avem o egalitate ca cea de mai jos
[tex]h_{a}=1[/tex]
[tex]h_{b}=2[/tex]
[tex]h_{c}=3[/tex]
Nu o sa conteze daca le iei apoi in alta ordine
Din formulele ariilor o sa avem atunci urmatoarea expresie
[tex]a*h_{a}=b*h_{b}=c*h_{c}=2S[/tex] de unde rezulta ca
[tex]a=\frac{2S}{h_{a}}=\frac{2S}{1}=2S[/tex]
[tex]b=\frac{2S}{h_{b}}=\frac{2S}{2}=S[/tex]
[tex]c=\frac{2S}{h_{c}}=\frac{2S}{2}=\frac{2S}{3}[/tex]
Observam atunci ca avem cazul
[tex]b+c=S+\frac{2S}{3}=\frac{3S+2S}{3}=\frac{5S}{6}<\frac{6S}{6}=S=a[/tex]
Deci ajungem la relatia
[tex]b+c<a[/tex] care incalca inegalitatea triunghiului, deci nu pot forma un triunghi, inaltimile nu pot fi distincte 2 cate 2
II) Presupunem ca 2 inaltimi sunt egale intre ele dar diferite fata de a treia inaltime. Sa zicem atunci ca
[tex]h_{a}=h_{b}[/tex] DAR
[tex]h_{a}\neq h_{c}[/tex] atunci
[tex]a*h_{a}=b*h_{b}=b*h_{a}\Rightarrow a=b[/tex] deci triunghiul este isoscel
Mai stim ca aria lui S poate fi exprimata si asa
[tex]2S=c*h_{c}=a*b*\sin{C}=a^{2}*\sin{C}[/tex]
Dar stim din relatia de mai sus pentru teorema sinusurilor ca
[tex]c=4\sin{C}[/tex]
Si atunci relatia devine
[tex]4\sin{C}h_{c}=a^{2}*\sin{C}\Rightarrow a=2\sqrt{h_{c}}[/tex]
Mai stim ca
[tex]a=b\Rightarrow 4\sin{A}=4\sin{B}\Rightarrow \sin{A}=\sin{B}\Rightarrow A=B[/tex]
Si atunci putem calcula si pe C
[tex]C=\pi-A-B=\pi-2A\Rightarrow \sin{C}=\sin{\pi-2A}=\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}[/tex]
Ceea ce inseamna ca latura c poate fi scrisa in 2 feluri
[tex]a*h_{a}=c*h_{c}\Rightarrow c=\frac{a*h_{a}}{h_{c}}[/tex]
si
[tex]c=4\sin{C}=8\cos{A}\sin{A}[/tex]
Daca stim ca ha si hb sunt egale intre ele si hc este distinct, avem urmatoarele cazuri
1) [tex]h_{c}=1[/tex]
Atunci
[tex]a=2\sqrt{h_{c}}=2\sqrt{1}=2[/tex]
atunci rezulta ca
[tex]\sin{A}=\frac{a}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow A=30[/tex]
Atunci stim cat este si cos A
[tex]\cos{A}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Si rezulta atunci ca
[tex]c=8\sin{A}\cos{A}=8\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}[/tex]
Dar am stabilit deja ca
[tex]c=\frac{a*h_{a}}{h_{c}}=a*h_{a}=2h_{a}=2\sqrt{3}\Rightarrow h_{a}=\sqrt{3}[/tex]
Deci ar reiesi ca inaltimea este un numar irational, dar noi stim ca este un nr intreg, deci acest caz e imposibil
2) [tex]h_{c}=2[/tex]
Atunci avem
[tex]a=2\sqrt{h_{c}}=2\sqrt{2}[/tex]
Atunci avem
[tex]\sin{A}=\frac{a}{4}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow A=45[/tex]
dar stim ca pentru A=45 avem
[tex]\cos{A}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
si rezulta atunci ca
[tex]c=8\sin{A}\cos{A}=8\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}=2*2=4[/tex]
Dar am stabilit deja ca
[tex]c=\frac{a*h_{a}}{h_{c}}=\frac{2\sqrt{2}*h_{a}}{2}=h_{a}*\sqrt{2}=4\Rightarrow h_{a}=2\sqrt{2}[/tex] dar stim ca inaltimile sunt intregi, acesta este un numar irational, deci nu este o solutie
3)
[tex]h_{c}=3[/tex]
Atunci avem
[tex]a=2\sqrt{h_{c}}=2\sqrt{3}[/tex]
Atunci avem
[tex]\sin{A}=\frac{a}{4}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A=60[/tex]
Dar tocmai am determinat ca un unghi al unui triunghi isoscel are 60 de grade, deci triunghiul este echilateral. Dar daca triunghiul este echilateral atunci stim ca
[tex]a=b=c[/tex] deci
[tex]c=\frac{a*h_{a}}{h_{c}}=a\Rightarrow \frac{h_{a}}{h_{c}}=1\Rightarrow h_{a}=h_{c}[/tex] dar daca iti aduci aminte noi am pornit de la presupunerea ca ha si hc sunt diferite intre ele
[tex]h_{a}\neq h_{c}[/tex] atunci se incalca conditia pusa si nu se mai ia in considerare
III) Ne-a mai ramas o singura varianta: faptul ca toate cele 3 inaltimi sunt egale
[tex]h_{a}=h_{b}=h_{c}[/tex] Atunci din teorema sinsurilor se demonstreaza rapid ca triunghiul este echilateral
[tex]a*h_{a}=b*h_{b}=b*h_{a}\Rightarrow a=b[/tex] si
[tex]a*h_{a}=c*h_{c}=c*h_{a}\Rightarrow a=c[/tex]
Deci a=b=c. Atunci inseamna ca
[tex]a=b=c=4\sin{A}=4\sin{60}=4\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}[/tex]
Mai ramane sa verificam ca toate inaltimile sunt intregi. Dar stim ca in general intr-un triunghi echilateral inaltimea are formula
[tex]h=\frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex]
unde l este latura triunghiului
In cazul nostru
[tex]h_{a}=h_{b}=h_{c}=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\sqrt{3}}{2}=3[/tex] deci sunt intregi.
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!