Răspuns :
Din teorema sinusurilor stim ca
[tex]\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R[/tex]
De unde rezulta ca
[tex]a=2R\sin{A}[/tex]
[tex]b=2R\sin{B}[/tex]
[tex]c=2R\sin{C}[/tex]
Atunci prima ecuatie devine
[tex]2R\sin{A}+2R\sin{B}=4R\sin{C}[/tex] impartim prin 2R
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2\sin{C}=\sqrt{3}\Rightarrow \sin{C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=60[/tex]
Mai stim ca
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}[/tex]
Mai stim ca toate unghiurile unui triunghi fac 180 grade, pi
[tex]A+B+C=\pi\Rightarrow C=\pi-(A+B)[/tex]
Si mai stim ca in general
[tex]\cos{(\pi-x)}=\cos{x}[/tex]
Atunci
[tex]\cos{C}=\cos{\pi-(A+B)}=-\cos{(A+B)}=\cos{60}\Rightarrow \cos{(A+B)}=-\frac{1}{2}[/tex]
Mai stim urmatoarea relatie
[tex]\sin{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{2}}[/tex] atunci
[tex]\sin{\frac{A+B}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{(A+B)}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Inlocuim in ecuatia de mai sus
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2*\frac{\sqrt{3}}{2}*\cos{\frac{(A-B)}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \cos{\frac{(A-B)}{2}}=1\Rightarrow \frac{A-B}{2}=0\Rightarrow A=B[/tex]
Rezulta ca triunghiul ABC este isoscel.Dar stim ca unghiul C are 60 de grade, ceea ce inseamna ca ABC este echilateral.
[tex]\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R[/tex]
De unde rezulta ca
[tex]a=2R\sin{A}[/tex]
[tex]b=2R\sin{B}[/tex]
[tex]c=2R\sin{C}[/tex]
Atunci prima ecuatie devine
[tex]2R\sin{A}+2R\sin{B}=4R\sin{C}[/tex] impartim prin 2R
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2\sin{C}=\sqrt{3}\Rightarrow \sin{C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=60[/tex]
Mai stim ca
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}[/tex]
Mai stim ca toate unghiurile unui triunghi fac 180 grade, pi
[tex]A+B+C=\pi\Rightarrow C=\pi-(A+B)[/tex]
Si mai stim ca in general
[tex]\cos{(\pi-x)}=\cos{x}[/tex]
Atunci
[tex]\cos{C}=\cos{\pi-(A+B)}=-\cos{(A+B)}=\cos{60}\Rightarrow \cos{(A+B)}=-\frac{1}{2}[/tex]
Mai stim urmatoarea relatie
[tex]\sin{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{2}}[/tex] atunci
[tex]\sin{\frac{A+B}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{(A+B)}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Inlocuim in ecuatia de mai sus
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2*\frac{\sqrt{3}}{2}*\cos{\frac{(A-B)}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \cos{\frac{(A-B)}{2}}=1\Rightarrow \frac{A-B}{2}=0\Rightarrow A=B[/tex]
Rezulta ca triunghiul ABC este isoscel.Dar stim ca unghiul C are 60 de grade, ceea ce inseamna ca ABC este echilateral.
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!