Presupun ca relatia este
[tex]BD=\frac{\sqrt{3}}{4}AB[/tex]
Stim ca o mediana imparte triunghiul in 2 triunghiuri de arii egale
[tex]A_{BCD}=A_{ABD}[/tex]
Aria lui ABD poate fi scrisa ca
[tex]A_{ABD}=\frac{AB*BD*\sin{ABD}}{2}[/tex]
BCD este un triunghi dreptunghic cu unghiul [tex]\angle{DBC}=90[/tex] atunci aria lui BCD poate fi scrisa ca produsul catetelor pe 2
[tex]A_{BCD}=\frac{BD*BC}{2}[/tex]
Acum putem egala cele doua arii
[tex]\frac{BD*BC}{2}=\frac{AB*BD*\sin{ABD}}{2}\Rightarrow BC=AB*\sin{ABD}\Rightarrow BC^{2}=AB^{2}*\sin^{2}{ABD}[/tex]
Acum aplicam teorema consinusului pentru unghiul ABD in triunghiul ABD
[tex]\cos{ABD}=\frac{BD^{2}+AB^{2}-AD^{2}}{2BD*AB}\Rightarrow AD^{2}=BD^{2}+AB^{2}-2BD*AB*\cos{ABD}[/tex]
Dar stim ca BD este mediana, D este mijlocul lui AC, atunci
[tex]AD=CD[/tex]
CD este ipotenuza triunghiului dreptunghic BCD deci avem
[tex]CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}\Rightarrow BC^{2}=CD^{2}-BD^{2}=AD^{2}-BD^{2}=BD^{2}+AB^{2}-2BD*AB*\cos{ABD}-BD^{2}=AB^{2}-2BD*AB*\cos{ABD}[/tex]
Acum egalam cele doua forme de scriere ale lui BC^2
[tex]BC^{2}=AB^{2}\sin^{2}{ABD}=AB^{2}-2*\frac{\sqrt{3}}{4}AB*AB*\cos{ABD}=AB^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}AB^{2}\cos{ABD}\Rightarrow \sin^{2}{ABD}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}[/tex]
Din ecuatia fundamentala a trigonometriei stim ca
[tex]\sin^{2}{ABD}+\cos^{2}{ABD}=1\Rightarrow \sin^{2}{ABD}=1-\cos^{2}{ABD}[/tex] atunci
[tex]1-\cos^{2}{ABD}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}\Rightarrow \cos^{2}{ABD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}\Rightarrow \cos{ABD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \angle{ABD}=30[/tex]
