👤
DARIUSYOUNOWEZ
a fost răspuns

Ajutati-ma cu problema asta.Se considera functia F:(0,+infinit ) ,f de x =x la a patra /4 - ln x
a.)Sa se calculeze f'(x),x apartie (0,+infinit)
b.)sa se determine punctul de extrem al functiei f
c.)Sa se demonstreze ca ln radical din x <= x la puterea a doua - 1 /4

Răspuns :

ALBATRANEZ
a)4x³/4-1/x=x³-1/x=(x^4-1)/x

b) cum numitorul x>0, nu se anuleaza si este pozitiv, discutam numai numaratorul
(x²-1)*(x² +1)= (x-1)*(x+1)*(x²+1)...semnul il schimba numai primul factor, ceilalti fiind pozitivi ptx>0
si anume x-1<0 pt x<1, x-1=0, pt x=1 si x-1>0, pt x>1
deci derivata se anuleaza la x=1 , are semn negativ inainte  (functia scade) si pozitiv dupa (functia crest )
sadar (1, f(1))=(1, 1/4 +ln1)=(1,1/4) este un  extrem si anume un  minim

c) din b deducem ca
x^4-lnx>cel mult egal1/4
sau
x^4+1/4>cel mult egal lnx
 fie functia
g(x)=√x, crescatoare pe(0,infinit)

avem
x^4 crescatoare
x^4+1/4 crescatoare
lnx crescatoare
 compunand pe
X^4 +1/4 si, respectiv,  lnx , succesiv fiecare cu g(x)
rezulta
x²+1/4>lnx
sau lnx<x²-1/4

Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari