Răspuns:
[tex]Re(\frac{1+4i}{4+7i}) = \frac{32}{65}[/tex]
Explicație pas cu pas
Ce se cere:
Să se calculeze partea reală a numărului complex: [tex]\frac{1+4i}{4+7i}[/tex] .
Rezolvare:
Observație:
Fie numărul z complex, z = a + bi, cu a și b numere reale.
a se numește partea reală a numărului z și notează cu Re(z) iar b se numește partea imaginară și se notează cu Im(z).
Avem următoarele proprietăți care ne vor ajuta în rezolvarea exercițiului:
- Numărul [tex]\bar{z}[/tex] se numește z conjugat și este egal cu a-bi;
- [tex]z*\bar{z} = |z|^2[/tex] ;
- [tex]|z| = \sqrt{a^2 + b^2}[/tex] ;
- [tex]\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 * \bar{z_2}}{z_2 * \bar{z_2}}[/tex] unde [tex]z_1, \ z_2[/tex] sunt două numere complexe.
Ținând cont de aceste proprietăți, obținem:
[tex]\frac{1+4i}{4+7i} = \frac{(1+4i)(4-7i)}{(4+7i)(4-7i)} =\frac{4-7i+16i+28}{4^2 + 7^2} =\frac{32 + 9i}{16 + 49} =\frac{32 + 9i}{65} = \frac{32}{65} + \frac{9}{65} i\\\\=> Re(\frac{1+4i}{4+7i}) = \frac{32}{65}[/tex]
Succes!
