Răspuns :
Teorema (criteriul) lui Weierstrass: Orice sir monoton si marginit este convergent.
x_n>0, oricare ar fi n apartine N* ...(1)
x_n=(2n+1)/(n+1)=1+n/(n+1)<1+1=2, oricare ar fi n apartine N* ...(2)
Din (1) si (2) rezulta ca sirul x_n este marginit.
[x_(n+1)]/[x_n]=[(2n+3)/(n+2)]*[(n+1)/(2n+1)]=[(2n+3)(n+1)]/[(2n+1)(n+2)]=(2n^2+5n+3)/(2n^2+5n+2)=1+1/(2n^2+5n+2)>1. => x_(n+1)>x_n, oricare ar fi n apartine N*. => sirul x_n este strict crescator.
Din marginire si monotonie deducem (pe baza criteriului Weierstrass) ca sirul x_n este convergent.
x_n>0, oricare ar fi n apartine N* ...(1)
x_n=(2n+1)/(n+1)=1+n/(n+1)<1+1=2, oricare ar fi n apartine N* ...(2)
Din (1) si (2) rezulta ca sirul x_n este marginit.
[x_(n+1)]/[x_n]=[(2n+3)/(n+2)]*[(n+1)/(2n+1)]=[(2n+3)(n+1)]/[(2n+1)(n+2)]=(2n^2+5n+3)/(2n^2+5n+2)=1+1/(2n^2+5n+2)>1. => x_(n+1)>x_n, oricare ar fi n apartine N*. => sirul x_n este strict crescator.
Din marginire si monotonie deducem (pe baza criteriului Weierstrass) ca sirul x_n este convergent.
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!