presupunem prin absurd ca √5-√3 ar fi rational
Asta ar insemnna ca exista p, q ∈N ( numarul este pozitiv, pt ca √5>√3). (p,q)=1,(( p si q, primi intre ei) asa fel incat
√5-√3=p/q
ridicand la patrat obtinem
8-2√15=p²/q²
adica
2(4-√15)*q²=p²
cum (q,p)=1 ⇒2|p (2 divide pe p)
deci p poate fi scris 2r, adica
p²=4r²
2(4-√15)q²=4r²
(4-√15)q²=2r²
cum 2 nu divide pe 4-√15, inseamna ca 2 divide pe q
cum 2 divide si pe q si pe p,
adica (p,q)=2
apre o contradictie cu presupunerea (p,q)=1
deci nu exista p si q, primi intre ei , asa fel incat
√5-√3=p/q
deci √5-√3 nu este rational
