Se aplica una din urmatoarele 3 proprietati:
1) Intre doua patrate perfecte consecutive n² si (n+1)² nu mai exista niciun alt patrat perfect.
2) Intre patratele perfecte consecutive n² si (n+1)² se afla exact 2n numere naturale ce nu sunt patrate perfecte.
In adevar intre n² si (n+1)² se afla (n+1)²-n²-1=n²+2n+1-n²-1=2n , apoi se aplica 1).
3) Daca numarul natural a are proprietatea ca exista n∈N astfel incat
n²<a<(n+1)² atunci a nu este patrat perfect.
Deoarece n(n+1)=n²+n si n²<n²+n<n²+2n+1⇔n²<n(n+1)<(n+1)² notand a=n(n+1) ⇒ a nu este patrat perfect.
