Numarul este format grupe de cifre de forma:
■ un sir de numerede la 1 la 2011
■ fiecare din acest numar este urmat de atatea cifre de 2 cat indica numarul.
Numim "GRUPA" fiecare numar impreuna cu cifrele de 2 care urmeaza dupa el.
Calculam numarul de cifre pe urmatoarele tronsoane:
1) de la grupa 1 pana la grupa 9
2) de la grupa 10 pana la grupa 99
3) de la grupa 100 la grupa 999 - doar daca este nexesar
4) s.a.m.d - doar daca este necesar
[tex]\displaystyle \\
\text{Tronsonul 1 :} \\
2+3+4+\cdots+10=\frac{9(10+2)}{2}=\frac{9\times12}{2}=9\times6= \boxed{54~de~cifre}\\\\
\text{Tronsonul 2 :}\\
12+13+14+\cdots+101=?\\\\
\text{Calculam numarul de termeni:}\\
n=101-12+1=90~de~termeni\\
12+13+14+\cdots+101=\\\\
=\frac{90(101+12)}{2}=\frac{90\times113}{2}=45\times113= \boxed{5085~de~cifre}\\\\\\
\text{Nu mai este necesar sa calculam tronsoanele urmatoare}\\
\text{deoarece: } (5085+54) \ \textgreater \ 2011[/tex]
Presupunem ca a 2011-a cifra din sir este ultima cifra a unei grupe.
Aceasta grupa este grupa "n" din tronsonul 2.
[tex]\displaystyle \\
12+13+14+\cdots+n=?\\\\
\text{Calculam numarul de termeni:}\\
n=n-12+1=(n-11)~de~termeni\\
54 + (12+13+14+\cdots+n)=\\\\
=\boxed{54+\frac{(n-11)(n+12)}{2}~cifre}\\
\text{unde 54 este nr. de cifre din primul tronson.}\\\\
\text{Rezolvam ecuatia:}\\\\
54+\frac{(n-11)(n+12)}{2}=2011\\\\
\frac{(n-11)(n+12)}{2}=2011-54\\\\
\frac{(n-11)(n+12)}{2}=1957\\\\
(n-11)(n+12)=1957\times2\\\\
(n-11)(n+12)=3914\\\\
n^2-11n+12n-132=3914\\\\
n^2+n-132-3914=0[/tex]
[tex]\displaystyle \\
n^2+n-4046=0\\\\
n_{12} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4\times 4046}}{2} =\frac{-1 \pm \sqrt{16185}}{2}\\\\
\text{Eliminam solutia negativa deoarece }~n\ \textgreater \ 0\\\\
n = \frac{-1 + \sqrt{16185 }}{2}= \frac{-1 + 127,22}{2}=\frac{126,22}{2}=63,11 \\\\
\text{Rezulta ca a 2011-a cifra se afla in grupa notata cu 64 din tronsonul 2.}\\\\
\text{Calculam nr de ordine al ultimei cifre din grupa} \\
\text{notata cu 63 din tronsonul 2}[/tex]
[tex]\displaystyle \\
12+13+14+\cdots+63=?\\\\
\text{Calculam numarul de termeni:}\\
n=63-12+1=52~de~termeni\\
54 + (12+13+14+\cdots+63)=\\\\
=54+\frac{52(63+12)}{2} = \\ \\
=54+\frac{52 \times 75}{2} =
54 + 26 \times 75 =54 + 1950 =2004\\ \\
\Longrightarrow~~\text{A 2004-a cifra este ultima cifra a grupei} \\
\text{notate cu 63 din tronsonul 2.} \\ \\
2011 - 2004 = 7 \\ \\
\Longrightarrow~~\text{A 2011-a cifra este a 7-a cifra a grupei} \\
\text{notate cu 64 din tronsonul 2.}
[/tex]
[tex]\text{Grupa notata cu 64 din tronsonul 2, are 64 de cifre, astfel: } \\ \\
6222222...2222, ~~\text{adica numarul 62 urmat de 62 cifre de 2. } \\ \\
\Longrightarrow~~\text{A 7-a cifra din grupa notata cu 64 este 2.} \\ \\
\Longrightarrow~~\text{A 2011-a cifra a numarului dat in enunt este:} ~\boxed{2}[/tex]
