b) surjectiva
f(2)=6+4=10 feste crescatoare pt ca coef lui x adica 3>.0 deci ∀ x<2 exista f*x)∈(-∞ 10] care verifica relatia deci Imf(x)=(-∞,10]=codomeniul => f surjectiva
injectiva
fie x1 x2∈(-∞ ,2] a.i. f(x1)=f(x2) 3x1+4=3x2+4 =. x1=x2 Deci f injectiva
Daca f e injectiva si surjectiva e bijectiva
inversa f(x)=y
y=3x+4 => x=(y-4)/3 facem schimbarea y→x f^-1(x)=(x-4)/3 -inversa
c)Surjectiva f(x)=y y=(3x-1)/(x+2)=> xy+2y=3x-1 =>xy-3x=-2y-1=>
x=(2y+1)/(3-y) Se observa ca ∀y∈R exista x ∈R/{-2} care sa veifice relatia
deci f surjectiva
injectiva fie x1 ≠x2 a.i f(x1)=f(x2)=>(3x1-1)/(x+2)=(3x2-1)/(x2+2)
(3x1-1)(x2+2)=(3x2-1)(x1+2)
3x1x2-x2+6x1-2=3x1x2-x16x2-2=>
5(x1-x2)=0 => x1=x2 deci f(x1)=f(x2) implica x1=x2 f injectiva
Daca e injectiva si surjectiva atunci e bijectiva
Inversa
f(x)=y
y=(3x-1)/(x+2) xy+2y=3x-1
x(y-3)=-2y-1
x=(2y+1)(3-y) y→x f^-1(x)=(2x+1)/(3-x) inversa
d-) surjectivitate
fie f(x)=y y∈R/{2] Notam f(x)=y
(6x+1)/(3x-4)=y 6x+1=3xy-4y=> 6x-3xy=-1-4y=>
x=(1-4y)/(6-3y) se observa ca ∀y=/2 exista x real care sa verifice egalitatea .Deci Imf=R/{2}=codomeniu. f este surjectiva
injectiva
fie x1≠x2 a incat f(x1)=f(x2)
(6x1+1)/(3x1-4)=(6x2+1)/(3x2-4)
18x1x2+3x2-24x1-4=18x1x2+3x1-24x2-4
3(x2-x1)+24(x2-x1)=0=> 27(x2-x1)=0 deci f(x1)=f(x2)=> x1=x2 => f injectiva
daca e injectiva si surjectiva atunci e bijectiva
inversa
f(x)=y
s-a aratat anterior ca x=(1-4y)/(6-3y) y→x f^-1(x)=(1-4x)/(6-3x)
