Cautam numere naturale de 4 cifre care au 5 divizori.
Rezolvare:
5 este numar impar.
Numerele naturale care au numar impar de divizori sunt patrate perfecte.
Un patrat perfect de forma a², unde a = numar prim are divizorii:
D(a²) = {1; a; a²} In total sunt 3 divizori.
Un patrat perfect de forma: (a×b)², unde a si b sunt numere prime,
are divizorii:
D(a×b)² = {1; a; b; a²; a×b; b²; a²b; ab²; a²b² } In total sunt 9 divizori.
Un patrat perfect de forma: (a×a)² = (a²)² = a⁴, unde a = numar prim are divizorii:
D(a⁴) = {1; a; a²; a³; a⁴} In total 5 divizori.
Rezulta ca trebuie sa cautam numere de forma:
1000 ≤ a⁴ ≤ 9999, unde a = numar prim
Facem cateva incercari:
3⁴ = 81 prea mic
5⁴ = 625 < 1000 dar ne apropiem.
7⁴ = 2401 corespunde deoarece este numar de 4 cifre.
11⁴ = 14641 prea mare.
⇒ Singurul numar de 4 cifre care are 5 divizori este 2401.
Verificare:
D(2401) = {1; 7; 49; 343; 2401} In total sunt 5 divizori.
