Mai intai scrii radicalii sub forma exponentiala.inegalitatea devine
(n+1)^1/(n+1)<n^1/n
Se aduc exponentii la acelai numitor
(n+1)^n/n·(n+1)<n^(n+1)/n·(n+1)
inductie completa
n=3 4^3/12<3^4/12 64^1/12<81^1/12 evident
Presupui Pn adevarata.Verifici daca Pn=>P(n+1)
Pn=(n+1)^n/n·(n+1)<n^(n+1)/n·(n+1) adevarat.pentru usurarea calculelor ridicam aceasta inegalitate la puterea (n+1)·(n+2) si vom scapa de numitorii de la exponent.Se obtine
Pn=(n+1)^n<n^(n+1) A)
P(n+1)=(n+2)^(n+1)<(n+1)^(n+2)
facem substitutia m=n+1 Se obtine
P(m)=(m+1)^m<m^(m+1) care este chiar inegalitatea A in care s-a inlocuit m cun. DEci
Pn=>Pn+1 .
