|x-1|= -x+1 daca x≤1
=x-1 daca x>1
deci avem e rrezolvat inegalitatile
-x+1≥x-1
2≥2x
1≥x
x≤1 x∈(-∞;1] cum conditia era x≤1, inseamna ca este indeplinit pt tot intervalul
pt x>1
x-1≥x-1 adevarat ∀x ( are loc egalitatea), iarasi indeplinit pt tot intervalul
deci x∈(-∞; 1] ∪(1,∞)= (-∞;∞)=R multimea este nemarginita atat inferior cat si superior
Obs , notand x-1=y inegalitatae se reduce la |y|≥y, adevarata ∀y∈R
2 f) la modul general, 1/(x-1) : R\{1} ->R este o functie omografica, nemarginita;
ei insa i se aplica o 'restrictie" impunand ca valorile functiei sa fie>2;
ni se cere sa aflam multimea A a argumentului x, pt care functia f(x) >2 si sa vedem daca acesta multime, a lui x , argumentul, este sau nu marginita inferior sau superior;
atentie, functia este descrescatoare
Demonstratie x creste, x-1 creste, 1/(x-1) descreste
deci pt valori minime ale functiei vom avea valori maxime ale lui x
si invers
deci atunci cand functia va tinde catre valoarea minima, 2. va exista un max A a multimii lui x
atunci cand 1/(x-1)=2; 2x-2=1; 2x=3; x=3/2
deci exista o margine suiperioara in 3/2
de asemenea, mai stim (observam ) ca
pt valori x->1, x>1 1/(x-1)-> +∞
pt valori x->1, x<1 1/(x-1)-> -∞
cum ni se cer valori ale functiei >2, ne intereseaza doar cand f(x) ->∞ deci cand x->1, x>1
asadar A (multimea valorilor lui x) va avea pt maximul valorilor +∞, si un minim al lui x, si anume 1
practic A= (1;3/2) deci e marginita si inferior
min A=1
marginea inferioara Nu apartine multimii pt ca functia Nu poate fi definita acolo
max A=3/2
marginea superioara Nu apartine multimii datorita inegalitatii stricte ">"
vezi desen din attach pt lamurire
