Ak A(k+1)= 3(k-1) +1
lungimea segmentelor segmentelor creste in proportie aritmetica, cu primul termen 1 si cu ratia 3
A20A100- va proveni din insumarea mai multor segmente
A20A100= A20A21+A21A22+....A98A99+A99A100
= 3*19+1+3*20+1+.........3*97+1+3*98+1 =
1+1+...+1 (80 de 1) +3(19+20+...+97+98)=
=80 + 3*117*80/2=80+14040=14120cm
Daca M este mijlocul, atunci A20M=14120:2=7060cm
A1M=A1A20 +A20M
A1M= A1A2+A2A3+A3A4+...+A19A20
=1+0*3+1+1*3+1+2*3+1+3*3+....+1+18*3
=19 +3(1+2+...+18)
=19+3*18*19/2 =19+3*9*19=
=532cm
deciA1M=A1A20+A20M=532+7060=7592cm (75,92 metri)
punctul M, fiind pe o dreapta continua ,rezultata din reuniunea unor segmente inchise la ambele capete nu se poate afla decat in un segment daca este interior , sau in 2 segmente daca este pe "frontiera "daca apartine atat lui AkA(k+1) cat si lui A(k-1)Ak adica daca M coincide cu un Ak anume
deci trebuie sa determinam daca suma 1 +4+7+10 +...+x=7592 ne da ca solutie un x intreg
1+0*3 +1+1*3+1+2*3 +...1+y*3=7592
(y+1)*1 +3 (1+2+...+y)=7592
y+1+3*y(y+1)/2=7592
3y²+3y+2y+2=15184
3y²+5y-15182=0
Δ=25-4*3*(-15182)=182209
√Δ∉Q⇒y1,2∉N, nu exista un x de forma 3k+1 in progresia aritmetica
M apartine unui singur segement
altfel
1+4+7+...+x-3 +x=7592
avem in total [(x-1)/3] +1 numere
pe care le grupam cate 2, primul cu uiltimul , al doilea cu penultimul si ne vor da insumate x+1
deci
[(x-1)/3+1](x+1)=7592
(x+2)(x+1)=3*7592
x²+3x-22776=0
Δ=9-4*1* (-22776)=91113
U(Δ)=3⇒√Δ∉Q⇒x∉Q⇒x∉N, deci nu exista n natural in sirul Ak de forma 3k+1 care sa satisfaca ecuatia, M nu pica pe frontiera intre doua segmente
raspuns M apartine unui singur segment Ak A(k+1)
