9) E(x) = [2x] -[x] -[x+1/2]
a) x∈ [0, 1/2) ⇒ [x] = 0
x∈ [0, 1/2) ⇒2x ∈[0, 1) ⇒ [2x] = 0
x∈ [0, 1/2) ⇒x+1/2 ∈[0, 1) ⇒ [x+1/2] = 0
Deci, pentru oricare x ∈[0, 1/2) ⇒ E(x) = 0 - 0 - 0 = 0
Observație
E(x) = [2x] -[x] -[x+1/2] = E(x) = [2x] -([x] + [x+1/2]).
Aplicăm identitatea lui Hermite și rezultă:
E(x) = [2x] - [2x] = 0, pentru oricare x ∈ ℝ.
b) E(x+1/2) = [2(x+1/2)] - [x+1/2] - [x+1/2+1/2] = [2x+1] - [x+1/2] - [x+1] =
= 1+[2x] -[x+1/2] -1- [x] = [2x] -[x] -[x+1/2] = E(x).
7)
S = [√(n²+1)] + [√(n²+2)] + ... + [√(n²+n)]
Avem inegalitățile evidente:
n² < n² + n = n(n+1) < (n+1)² ⇒n² < n² + n < (n+1)²
Aplicăm radical pe fiecare termen și obținem:
n < √(n²+n) < n+1 ⇒√(n²+n) ∈ (n, n+1)⇒ [√(n²+n)] = n, pentru oricare n∈ℕ.
Deci, fiecare termen al sumei este egal cu n. Rezultă :
S = n + n+ n + ... + n (cu n termeni) ⇒ S = n·n ⇒ S = n²
