Presupunem ca exista o progresie an in care numerele de mai sus sa fie termenii progresiei.
Putem considera fara a restrange generalitatea ca a1=√2
ak=a1+(k-1)·r=√3
..................
am= am+(m-1)·r=√5
k, ;, n numere naurale k<m;<n
Formwezi sistemul
{a1=√2
{ak=a1+(k-1)·r =√3 =>√2+(k-1)·r=√3 => r=(√3-√2)/(k-1) =>
am=√2+(m-1)·(√3-√2)/.(k-1)=√5=>√2(k-1)+(m-1)*(√3-√2)=√5(k-1) =>
(m-1)*(√3-√2)=√5·(k-1) =.>
m-1=√5(k-1)/(√3-√2) amplifici fractia cu conjugata numitorului √3+√2 si obtii
m-1=√5(√3+√2)(k-1)/(3-2)=>
m=(√15+√10)·(k-1)+1
Primul termen al sumei este un numar rational deci tot membrul drept este un nr irational.Am ajuns la egalitatea
m=nr irational. Fals , deoarece m a fost considerat numar natural.Deci cele 3 numere nu pot fi termenii unei progresii aritmetice
