la a)
a2-r+a2+a2 +r=27
3a2=27
a2=9
(9-r)*9*(9+r)=585 impartim prin 9
9²-r²=585:9=65
81-r²=65
r²=81-65=16
r=+4 sau -4
fir r=4
deci a1=9-4=5
a3=9+4=13
verificare 5*9*13=585
deci progresia este
5,9, 13,17,21, ...4k+1 k∈N* asu cu a1=5 si r=4
fe r=-4
atunci a1=9-(-4)=13
si
a3=9+(-4)=5
si aceasta verifica relatia 13*9*4=585
in acest caz, progresia este 13,9,5,1,-3 ...13-4k , k∈N
sau progresia aritmetica avand a1=13 si r=-4
b) fie termenii progresiei;
a3-2r, a3-r, a3 , a3+r. a3+2r
atunci S5=5a3=5⇒a3=1
produsul primilor 5 termeni va fi
(a3-4r²) *1(a3-r²)=280
adica ( 1-4r²)*(1-r²)=280
fie r²=y
avem ecuatia
(1-4y) (1-y)=280
(4y-1) (y-1)=280
4y²-5y+1-280=0
4y²-5y-279 =0
rezolvand ec de grad 2 in y , obtinem y= (5+67)/8 =72/8=9
si y=(5-67)/8
cu y=r²≥0 vom lua doar y=9
deci r²=9
cu solutiile r=3 si r=-3
pt r =3
vom avea
1-6, 1-3, 1, 1+3, 1+6,....
adica
-5, -2,1,4,7,10,13,...... 3k+1 k∈Z, k≥-2
sau p.a cu a1=-5 si r=3
pt x=-3
vom avea
1- (-6) , 1-(-3), 1, 1+(-3) , 1+(-6), adiuca :
7,;4;1;-2;-5,-8,-11,....1-3k, k∈Z, k≥-2
saiu p.a. cu a1=7 si r=-3
c)105=21*5=3*7*5=1*3*5*7=7*5*3*1 dar aceasta are ratia -2
pt ratie -4; cum alte numere intregi nu dau produsul 105
iar progresia este descrescatoare cu ratia -4, si cel mai mare numar este 7
atunci produsul primilor 4 termeni esde
P4=7*3*(-1)(-5)
deci progresia este
7,3,-1,-5,-9.....cu a1=7 si r=-4, cerinta
