👤
a fost răspuns

Demonstrati ca : 2 ^ 7n+3 +3 ^2n+1 *5 ^4n+1 este divizibil cu 23 , pt orice n natural.

Răspuns :

RENATEMAMBOUKOEZ
2^(7n+3) +3^(2n+1) ×5^(4n+1) este divizibil cu 23 ⇒
P(n)=2^(7n+3) +3^(2n+1) ×5^(4n+1)=23t n∈N  t∈Z
1.Verificam P(0)    n=0
2^(7×0+3) +3^(2×0+1) ×5^(4×0+1)=
=2^3 +3^1 ×5^1=8+15=23  
2.Presupunem ca P(k) este adevarat
2^(7k+3) +3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23m       k∈N  m∈Z
2^(7k+3) +3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23m
2^(7k+3) =23m-3^(2k+1) ×5^(4k+1)   (1)

3.Sa demonstram ca P(k+1) este adevarat
2^[7(k+1)+3] +3^[2(k+1)+1] ×5^[4(k+1)+1]=23p       k∈N  m∈Z
2^(7k+10) +3^(2k+3) ×5^(4k+5)=23p    
2^7×2^(7k+3) +3^2×5^4×3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23p    
128×2^(7k+3) +5625×3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23p    
inlocuim 2^(7k+3) =23m-3^(2k+1) ×5^(4k+1)   din (1)
2944m-128×3^(2k+1) ×5^(4k+1)  +5625×3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23p
2944m-5497×3^(2k+1) ×5^(4k+1) =23p    
23[128m-239×3^(2k+1) ×5^(4k+1)] =23p

deoarece P(0) este adevarat si din P(k) ⇒P(k+1) adevarat  rezulta ca P(n) este adevarat
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari