Exercitii si probleme rezolvate
–
metoda inductiei matematice
1. Sa se demonstreze ca 1+3+5+…+(2n
-1)=n²,
n
*Solutie
Notam P(n) egalitatea 1+3+5+…+(2n
-1)=n².Pentru a demonstra propozitia (
n)P(n) aplicam metoda inductieimatematice.
Etapa de verificare
Pentru n=1 se obtine P(1): 1=1², care este adevarata.
Etapa de demonstratie
Presupuneam ca p
ropozitia P(k) este adevarata, adica 1+3+5+…+(2k
-1)=k².Demonstram ca propozitia P(k=1) este adevarata, adica
1+3+5+…+(2k
-1)+(2k+1)=(k+1)².Folosind ca P(k) este o propozitie adevarata se obtine
1+3+5+…+(2k
-1)+(2k+1)=(k+1)²Asadar propozitia P(k+1) este adevarata. Rezulta ca propozitia P(n) esteadevarata oricare ar fi n
.2. Sa se demonstreze ca 1+
21
+
31
+…+
n
1
<2
n
,
n
*SolutieNotam P(n) inegalitatea din enunt. Pentru a demonstra propozitia (
n) P(n)folosim metoda inductiei matematice.
Etapa de verificare
Pentru n=1 se obtine P(1): 1<2
1
, propozitie adevarata.
Etapa de demonstratie
Presupunem ca P(k) este adevarata, adica 1+
21
+
31
+…+
k
1
<2
k
. (1)Demonstram ca propozitia P(k+1) este adevarata, adica1+
21
+
31
+…+
k
1
+
11
k
<2
1
k
.Avem ca P(k) este propozitie adevarata. Adunam in ambii membri aiinegalitatii (1) termenul
11
k
si obtinem inegalitatea adevarata:1+
21
+
31
+…+
k
1
+
11
k
<2
k
+
11
k
.A demonstra ca propozitia P(k+1) este adevarata, revine la a arata ca:2
k
+
k
1
<2
1
k
, k
1Eliminam numitorul
1
k
>0 si obtinem succesiv:
2
k
•
1
k
+1<2(k+1)
2
k k
2
<2k+1
4(k
2
+k)<4k
2
+4k+1, inegalitateadevarata.Asadar, P(k+1) este propozitie adevarata.Cele doua etape fiind parcurse, conform metodei inductiei matematice,rezulta ca P(N) este adevarata oricare ar fi n
*.3. Sa se demonstreze ca 9
n
-1 se divide cu 8, oricare ar fi n
*.Solutie
Fie P(n): “ 9
n
- 1
8
“.
Pentru n=1 se obtine propozitia P(1): “ 9
1
-1
8
“ care este adevarata.
Presupuneam ca P(k) este propozitie adevarata, adica 9
k
-1
8, k
1 si
demonstram ca P(k+1) este propozitie adevarata adica “ 9
1
k
-1
8. “
Scriem P(k+1) cu ajutorul propozitiei P(k). Avem:9
1
k
-1=9
k
•9
-1=(9
k
-1+1)
•9
-1=(9
k
-1)
•9+9
-1=(9
k
-1)
•
9+8.Deoarece (9
k
-
1)•9
8 si 8
8 rezulta ca [(9
k
-1)9+8]
8. Asadar, P(k+1) estepropozitie adevarata. Rezulta ca P(n) este adevarata pentru orice n
*.
