Pentru A ∩ ℕ, vom căuta numerele naturale din A.
[tex]\it \dfrac{-15}{-3} = +\dfrac{15}{3} = 5 \in \mathbb{N}
[/tex]
[tex]\it \dfrac{\sqrt{81}}{3} = \dfrac{9}{3}=3 \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]\it Deci,\ A\cap\mathbb{N} =\left\{\dfrac{\sqrt{81}}{3},\ \dfrac{-15}{-3} \right\} =\{3,\ 5\}[/tex]
Pentru A ∩ ℤ, vom căuta numerele întregi din A .
Știm că ℕ ⊂ ℤ, adică avem:
[tex]\it \dfrac{-15}{-3} = +\dfrac{15}{3} = 5 \in \mathbb{Z} [/tex]
[tex]\it \dfrac{\sqrt{81}}{3} = \dfrac{9}{3}=3 \in \mathbb{Z}[/tex]
Dar, mai avem :
[tex]\it -\sqrt{25} = -5 \in \mathbb{Z}[/tex]
Așadar, se poate scrie că :
[tex]\it A\cap\mathbb{Z}= \left\{-\sqrt{25},\ \dfrac{\sqrt{81}}{3},\ \dfrac{-15}{3} \right \} = \{-5,\ 3,\ 5\}[/tex]
Pentru A ∩ ℚ, căutăm numerele raționale din A.
Deoarece ℤ ⊂ ℚ , elementele găsite mai sus le vom integra în A ∩ ℚ.
Și mai avem:
[tex]\it -\dfrac{5}{7} \in\mathbb{Q}[/tex]
[tex]\it \sqrt{1,(7)} =\sqrt{1\dfrac{7}{9}} =\sqrt{\dfrac{16}{9}} =\dfrac{4}{3} \in\mathbb{Q}[/tex]
Deci, acum avem :
[tex] A\cap\mathbb{Q} = \left\{-\sqrt{25},\ \dfrac{\sqrt{81}}{3},\ \dfrac{-15}{-3},\ -\dfrac{5}{7},\ \sqrt{1,(7)} \right \} = \{-5,\ 3,\ 5,\ -\dfrac{5}{7},\ \dfrac{4}{3}\} [/tex]
Toate elementele din A sunt numere reale, deci:
A \ ℝ = Ø
[tex]\it A\cap(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}) = A\backslash\mathbb{Q} = \{4\sqrt3,\ \sqrt{12} \} = \{4\sqrt3,\ 2\sqrt{3} \}
\\\;\\ \\\;\\
\sqrt{12} =\sqrt{4\cdot3} =2\sqrt3[/tex]
