13)
a, b, c sunt în progresie geometrică ⇒ b=aq, c=aq², unde q=rația
[tex]\it log_b x =\dfrac{log_a x}{log_a b} = \dfrac{log_a x}{log_a aq} = \dfrac{log_a x}{log_a a+log_aq} = \dfrac{log_a x}{1+log_aq}
\\\;\\ \\\;\\
log_c x = \dfrac{log_a x}{log_a c} = \dfrac{log_a x}{log_a aq^2} = \dfrac{log_a x}{log_a a+log_aq^2} = \dfrac{log_a x}{1+2log_aq}[/tex]
[tex]\it Notez\ \ log_ax = t,\ \ \ log_a q =u[/tex]
Membrul stâng al egalității din enunț devine:
[tex]\it \dfrac{t-\dfrac{t}{1+u}}t} = \dfrac{t(1-\dfrac{1}{1+u})}{t} = 1-\dfrac{1}{1+u} =\dfrac{1+u-1}{1+u}=\dfrac{u}{1+u}[/tex]
Al doilea membru al egalității din enunț devine:
[tex]\it\dfrac{\dfrac{t}{1+u}-\dfrac{t}{1+2u}}{\dfrac{t}{1+2u}}=\dfrac{t(1+2u-1-u)}{(1+u)(1+2u)}\cdot \dfrac{1+2u}{t}=\dfrac{u}{1+u}[/tex]
Deci, egalitatea din enunț este verificată.
..
