(x+a)(x+b)≥(x+√ab)²
x²+ax+bx+ab≥x²+2x√ab+ab=.>
ax+bx≥2x√ab
(ax+bx)/2≥√x²ab evident pt ca Ma≥Mg
b)Pe baza inegalitatii de mai sus vom scrue urmatoarele inegalitat
(a+b)(a+c)≥(a+√bc)²
(c+b)(c+a)≥(c+√ab)
(b+a)(b+c)≥(b+√ac)2
Se inmultesc egalitatile membru cu membru si obtii
(a+b)²(a+c)²(b+c)²≥(a+√bc)²(b+√ac)²(c+√ab)²
Extragi radacina oatrata si din stangha si din dreapta si obtii
Ramane de demonstrat ultima parte a inegalitatii
Congf Inegalitatii mediilor Ma>Mhvom avea
a+b)/2>2ab/(a+b)
(a+C)/2≥2ac/(a+c)
(b+c)/2≥2bc/(b+c)
SE inmultesc cele 2 inegalitati membru cu membru si se obtine
(a+b)(b+c)(c+a)/8≥8a²b²c²/(a+b)(a+c)(b+c)+.>
(a+b)²(c+b)²(c+a)²≥8²b²+c²Se extrahge radacina patrata si se ontie
(a+b0(b+c)(c+a)≥8abc
