👤
a fost răspuns

In triunghiul ABC notam cu M mijlocul segmentului [BC] si cu G centrul de greutate al triunghiului. Aratati ca :
a) AM vector = 1/2 ( AB vector + AC vector ) ;
b) GA vector + GB vector + GC vector = 0 vector
c) pentru orice punct O din plan, avem relatie OA vector + OB vector + OC vector = 3OG vector.
Va rog frumos sa ma ajutati !

Răspuns :

OVDUMIEZ
stim ca centrul de greutate in triunghi se afla la intersectia medianelor si se afla la distanta de 1/3 de la baza si 2/3 de la varf.
am notat cu N mijlocul lui AC si cu P mijlocul lui AB
vectorial:
a)
AM=AB+BM (in tr. ABM)
AM=AC+CM  (in tr. AMC)  le adunam si tinem seama ca vectorii BM si CM au sensuri opuse si modulele egale deci BM+CM=0

2AM=AB+AC ⇒ AM=(AB+AC)/2
2BN=BA+BC ⇒ BN=(BA+BC)/2
2CP=CA+CB ⇒ CP=(CA+CB)/2
deci vectorial, mediana este semisuma laturilor care pleaca din acelasi punct

b)
GA= - 2AM/3= - 2(AB+AC)/3  ma folosesc de rezzultatele de la a)
GB= - 2BN/3= - 2(BA+BC)/3
GC= - 2CP/3= - 2(CA+CB)/3 le adunam
GA+GB+GC= - 2(AB+BA+AC+CA+BC+CB)/3=0
ai suma de cate 2 vectori opusi si de module egale

c)
OG=OA+2AM/3 (in tr. AOG)
OG=OB+2BN/3 (in tr. BOG)
OG=OC+2CP/3 (in tr. COG) le adunam si tinem seama de rezultatele de la a)
3OG=OA+OB+OC+2(AM+BN+CP)/3=
=OA+OB+OC+2(AB+AC+BA+BC+CA+CB)/3 = OA+OB+OC+0 pentru ca:

AB+BA=0
AC+CA=0
BC+CB=0
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari