👤
a fost răspuns

1.Fie sirul ([tex] x_{n} [/tex]) cu[tex] x_{n} = sin^{2} \frac{ pi}{n} +sin^{2} \frac{ pi}{n+1}+...+sin^{2} \frac{ pi}{2n}.[/tex]. Sa se calculeze \lim_{n \to \infty} x_n .
2.Fie sirul ([tex] x_{n} [/tex]) cu [tex] x_{n} = cos a cos \frac{ a}{2}cos \frac{ a}{ ^{ 2^{2} } }...cos \frac{a}{ 2^{n} } [/tex].
a)Aratati ca [tex] x_{n} = \frac{sin2a}{ 2^{n+1}sin \frac{a}{ 2^{n} } } [/tex]
b)Studiati convergeanta sirului pentru a∈{[tex] -\frac{pi}{2} ,0, \frac{pi}{2} [/tex]}
c)Daca a∈([tex] -\frac{pi}{2} , \frac{pi}{2} [/tex])- {0} ,aratati ca sirul este convergent

Răspuns :

GEORGEDINFOEZ
Aplici  inegaliatea  sinx<x x∈[0;π/2]s
sin π/n≤π/n => sin²π/n≤π²/n²
sinπ/(n+1)≤π/(n+1)=>sin²π/(n+1)≤π²/(n+1)²
..................................................................
sinπ/2n≤π/2n  sin²π/2n≤π²/(2n)
Se aduna  termen  cu termen  
sin²π/n+sin²π/(n+1)+...+sin²π/2n≤(π²/n²+π²/(n+1)²+...+π²/2n²)
In  paranteza   sunt  n+1  termeni  din  care  cel  mai   mare π²/n²
Deci  π²/n²+...+π²/2n²≤nπ²/n²=π²/n→0
cel mai  mic termen  al parantezei   este π²/2n²
Deci π²/n²+...+π²/2n²≥n*π/2n²=π/2n→0=>
Parantexa     tinde   la   o   
In   final 0≤limxn≤0 =>  lim  xn=0
b)  se aplica  formula   2sinx*Cosx=sin2x
Se   considera   xn   o   fractie   cu   numitorul   1   si   se  amplifica   cu   2*sina/2^n
xn=[cosa*cosa/2*...*(2cosa/2^n*sina/2^n)/2sina^n=cosa*cos2a*...*cosa/2^(n-1)]2*sin a/2^n=...  Se  amplica   cu   2  
si   se  obtine
xn=[cosa*cosa/2*...*sina/2^(n-2)]/2^2*sina/2^n
Se continua   procedeul   amplificarilor  cu  2   pina   cand  in  final   se   ajunge la
xn=2cosa*sina/2^(n+1)*sina/2^n=sin2a/2^n*sina/2^n
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari