18. |x|∈R+ \{0;1} baza tebuie sa fie pozitiva si ≠1
x∈R\{-1;0;1}
4x²-1>0⇔x∈(-∞;-1/2)∪(1/2; ∞)
cum x≠+-1 iar ) fiind deja eliminata
ramane solutia
x∈(-∞;-1)∪(-1;-1/2)∪(1/2;1)∪(1;∞)
16 .
3>0
Δ≤0, pt ca expresia e sub radical sa fie≥0
(m+2)²-4*3*(m+5)≤0
m²+4m+4-12m-60≤0
m²-8m-56<0
m1,2=[8+-√(64+224)]/2= (8+-12√2)2=4+-6√2
m∈(-∞, 4-6√2] ∪[4+6√2;∞)
17
pt m>2, 2-m<0 si expresia va lua valori negative, exceptand un i eventual interval intre radacini, deci nu va fi >0 ∀x∈R
pt m=2, expresia devine -2x-4 , functie de grad 1, va schimba o data semnul, deci nu va fi >0 ∀x∈R
pt m<2, 2-m>0 , expresia va lua valori pozitive exceptand intervalul dintre radacini, daca acestea exista
cum dorim sa fie>0, ∀x, inseamna ca ecuatia atasata nu trebuie sa aibe radacini distincte ci cel mult 2 racacini confundate
deci Δ≤0
avem deci sistemul
m<2
(-2)²-4*(3m-2)*(2-m)≤0
m<2
4 +4(3m-2)(m-2)≤0
m<2
1+3m²-8m+4≤0
m<2
3m²-8m+5≤0
m1,2=[8+-√(64-60)]/6=(8+-√4)/6=(8+-2)/6 m1=1; m2=5/3
deci ,pt a doua conditie m∈[1;5/3]
deci m∈(-∞;2)∩[1;5/3]=[1;5/3]
17.2
x²+y²-2x-y+m>0,∀x,y∈R
x²-2x+1-1 +y²-y+1/4-1/4 +m>0∀x, y∈R
(x-1)² +(y-1/2)²-1-1/4+m>0, ∀x, y∈R
(x-1)² +(y-1/2)² +m-5/4>0, ∀x, y∈R
dar
(x-1)² +(y-1/2)²≥0, ∀x,y∈R
deci ramane ca
m-5/4>0
adica
m>5/4
17.3
[ (m-1)/(m+1)] baza de logaritmi ; distingem cazurile;
1. [ (m-1)/(m+1)] >1
atunci
functia logaritmica este crescatoare, se pastreza sensul inegalitatii pt functie
x² +2≥ [ (m-1)/(m+1)]
sau mai simplu, vezi fig 1 attach
dar x²+2≥2, ∀x∈R
deci
1<[ (m-1)/(m+1)]≤2
rezolvand dubla inecuatie, obtinem * m∈(-∞;-3]
pt -3 avem egalitatea log2din2≥1, pt ce m mica valoarea a lui x²+2
pe masura ce m scade, baza tinde descrescator, (cu valori supraunitare), catre 1
* Obs
la rezolvare , nu am rezolvat pe rand cele 2 inecuatii
[ (m-1)/(m+1)]-1>0 si
respectiv
[ (m-1)/(m+1)]-2 ≤0
care m-ar fi dus la 2 tabele de variatie a cate 2 functiide grad1 si la acelasi rezultat, dupa un rationament mai lung
ci am folosit graficul functiei omografice f(m) = (m-1)/(m+1) si am pus conditiile ca valorile sa fie cuprinse in intervalul (1;2]; vezi figura 2
pt
0<(m-1)/(m+1)<1 ca baza de logaritm
dar x²+2≥2⇒avem un logaritm in baza subunitara din un nummar≥2,va fi negativ,
dar cum ni se cerre ca logaritmul sa fie≥1>0, pozitiv, contradictie, deci nu exista valori ale lui m pt care baz sa fie subunitara si logaritmul ≥1
ramane doar valorile lui m pt care baza este supraunitara si anume
m ∈(-∞;-3]
