10
a)CC' si AA'⊥(A'B'C') ⇒AA'||CC',⇒AA'C'C trapez (dreptunghic )
AO=OCsi OO' || AA'⇒OO' linie mijlocie ⇒O'=pr O pe planul (A'B'C')
din a)⇒A'O'≡O'C' (1)
analog DD' si BB' ⊥(A'B'C'), OO' l.m. in trapezul (dreptunghic)BB'D'D⇒D'O'≡O'B' (2)
Din (1) si (2) ⇒A'B'C'D' patrulater in care diagonalele se injumatesc, A'B'C'D' paralelogram
13. fie P1∈AM, asafel incat AP1=P1M si fie O1 pr P1 pe (ABC)
cum P1O1⊥(ABC)⇒P1O1||MC
cum P1 este mijlocAN⇒P1O1 linie mijlocie ΔAMC⇒AO1≡O1C ⇒
O1 mijlocul lui AC(1)
p fie P2 ∈BN, asa fel incat NP2≡P2B si O2 pr lui N2 pe (ABC)
analog se arata ca P2O2 l.m in ΔNDB, deci DO2=O2B ⇔
⇔P2 mijlocul lui DB (2)
dat r miljlocul lui AC ≡mijlocul lui BD⇔O1≡O2≡O, aceeasi proiectie
(unde prin semnul "≡" am inteles " identic")
15) a)AB⊥BC ( ipoteza) (1)
CC'⊥α (ipoteza)
BA⊂α(ipoteza)⇒CC'⊥AB⇔AB⊥CC' (2)
din (1) si (2)⇒AB⊥(BCC')⇒AB⊥C'B⊂(BCC')⇔ABC' triunghi dreptunghic , cerinta
(Observatie : punctl a)este practic demonstratia unei Reciproce a T3p)
b) a=BC=4⇒pr BC pe α este BC'<4
