Răspuns :
∅ Rezolvare :
→ c . m . m . d . c
=> se descompun numerele în produs de puteri de numere prime .
=> se iau toți factorii primi comuni , o singură dată , la puterea cea mai mică și se înmulțesc între ei .
Ex . 1
Demonstrati că oricare ar fi numerele naturale a , b , c , dacă b | a și c | a și ( b , c ) = 1 atunci b • c | a .
Rezolvare : Din b | a și c | a => a = b • p și a = c • q ( p , q € N ) , de unde b • p = c • q . Cum ( b , c ) = 1 , => p = c • r ( r € N ) . Deci , a = ( b • c ) • r , adică b • c | a .
Ex . 2
____
Determinați toate numerele naturale de forma 3xy divizibile cu 15 .
____ ____ ____ ____
Rezolvare : 15 | 3xy < = > 5 | 3xy , 3 | 3xy și ( 3 , 5 ) = 1 . Dar 5 | 3xy <=>
____ ___ ____ ___
<=> y € { 0 , 5 } <=> 3xy € { 3x0 , 3x5 } . Cum 3 | 3x0 <=> 3 | ( 3 + x + 0 )
____
<=> 3 | ( 3 + x ) <=> x € { 0 , 3 , 6 , 9 } <=> 3x0 € { 300 , 330 , 360 , 390 }
____
și 3 | 3x5 <=> 3 | ( 3 + x + 5 ) <=> 3 | ( 8 + x ) <=> x € { 1 , 4 , 7 } <=>
____
<=> 3x5 € { 315 , 345 , 375 } . Numerele căutate sunt : 300 , 315 , 330 , 345 , 360 , 375 , 390 .
Ex . 3
( a , b ) = 15
a • b = 1350
a = ?
b = ?
Rezolvare :
______________________________________
→ ( a,b ) = 15 → a = 15x si b = 15y →
_______________________________________
→ ( x,y ) = 1
________________________________________
→ a • b = 1 350 → 15x • 15y = 1 350
_________________________________________
x • y = 1 350 : 225 = 6 y = 6 →
__________________________________________
y = 1 → x = 6 → a = 15 • 6 → a = 90 → b = 15 • 1 → b = 15
___________________________________________
y = 2 → x = 3 → a = 15 • 3 → a = 45 → b = 15 • 2 → b = 30
___________________________________________
y = 3 → x = 2 → a = 15 • 2 → a = 30 → b = 15 • 3 → b = 45
___________________________________________
y = 6 → x = 1 → a = 15 • 1 → a = 15 → b = 15 • 6 → b = 90
___________________________________________
S = { ( 90 , 15 ) , ( 45 , 30 ) , ( 30 , 45 ) , ( 15 , 90 ) }
____________________________________________
→ c . m . m . m . c
=> se descompun numerele în produs de puteri de numere prime .
=> se iau factorii primi comuni si necomuni , o singură dată , la puterea cea mai mare si se înmulțesc între ei .
Ex . 1
Stabiliți dacă numărul 3^2 008 + 6 este divizibil cu 11 .
Rezolvare : 3^2 008 + 6 = 3³ • 3^2 005 + 6 = 3³ • ( 3^5 )^401 + 6 = 3³ • 243^401 + 6 = 3³ • ( 2 • 11² + 1)^401 + 6 = 3³ • ( M¹¹ + 1 )^401 + 6 = 3³ • ( M¹¹ + 1^401 ) + 6 = 27( M¹¹ + 1 ) + 6 = M¹¹ + 27 + 6 = M¹¹ + 33 = M¹¹ , adică 3^2 008 + 6 este divizibil cu 11 .
_____________________________________________________
Ex . 2
Calculați c . m . m . m . c al următoarelor grupe de numere :
a)2;9
b) 7;14
c)2;3;4
d)4;5
e)2;3;5
f)15;30;45
g)20;40;50
h)2;4;6;8
i)10;15;30;60
j)11;33;66;99
Rezolvare : a) 2 | 2 1 | 9 | 3 3 | 3 1 2 = 2 c.m.m.m.c = 2 • 3² = 2 • 9 = 18 9 = 3² b) 7 | 7 1 14 | 2 7 | 7 1 7 = 7 c.m.m.m.c = 2 • 7 = 14 14 = 2 • 7 c) 2 | 2 1 3 | 3 1 4 | 2 2 | 2 1 2 = 2 c.m.m.m.c = 2² • 3 = 4 • 3 = 12 3 = 3 4 = 2² d) 4 | 2 2 | 2 1 5 | 5 1 4 = 2² c.m.m.m.c = 2² • 5 = 4 • 5 = 20 5 = 5 e) 2 | 2 1 3 | 3 1 5 | 5 1 2 = 2 3 = 3 c.m.m.m.c = 2 • 3 • 5 = 6 • 5 = 30 5 = 5 f ) 15 | 3 5 | 5 1 30 | 2 15 | 3 5 | 5 1 45 | 3 15 | 3 5 | 5 1 15 = 3 • 5 30 = 2 • 3 • 5 c.m.m.m.c = 2 • 3² • 5 = 2 • 9 • 5 = 18 • 5 = 90 45 = 3² • 5 g ) 20 | 2 • 5 2 | 2 1 40 | 2 • 5 4 | 2 2 | 2 1 50 | 2 • 5 5 | 5 1 20 = 2² • 5 40 = 2³ • 5 c.m.m.m.c = 2³ • 5² = 8 • 25 = 200 50 = 2 • 5² h ) 2 | 2 1 4 | 2 2 | 2 1 6 | 2 3 | 3 1 8 | 2 4 | 2 2 | 2 1 2 = 2 4 = 2² 6 = 2 • 3 c.m.m.m.c = 2³ • 3 = 8 • 3 = 24 8 = 2³ i ) 10 | 2 • 5 1 15 | 3 5 | 5 1 30 | 2 • 5 3 | 3 1 60 | 2 • 5 6 | 2 3 | 3 1 10 = 2 • 5 15 = 3 • 5 c.m.m.m.c = 2² • 3 • 5 = 4 • 3 • 5 = 12 • 5 = 60 30 = 2 • 3 • 5 60 = 2² • 3 • 5 j ) 11 | 11 1 33 | 3 11 | 11 1 66 | 2 33 | 3 11 | 11 1 99 | 3 33 | 3 11 | 11 1 11 = 11 33 = 3 • 11 66 = 2 • 3 • 11 c.m.m.m.c = 2 • 3² • 11 = 2 • 9 • 11 = 18 • 11 = 198 99 = 3² • 11
_______________________________________________________
Ex . 3
Aflati care este cel mai mic numar de elevi care se pot aseza in coloana de 5,4 sau 6 elevi astfel incat sa nu ramana niciun elev singur.
Rezolvare :
5 | 5
1
_______________________
4 | 2
2 | 2
1
_______________________
6 | 2
3 | 3
1
_______________________
5 = 5
4 = 2²
6 = 2 • 3
_____________________
c . m . m . m . c = 2² • 3 • 5 = 4 • 3 • 5 = 12 • 5 = 60 elevi
___________________________________________________
→ c . m . m . d . c
=> se descompun numerele în produs de puteri de numere prime .
=> se iau toți factorii primi comuni , o singură dată , la puterea cea mai mică și se înmulțesc între ei .
Ex . 1
Demonstrati că oricare ar fi numerele naturale a , b , c , dacă b | a și c | a și ( b , c ) = 1 atunci b • c | a .
Rezolvare : Din b | a și c | a => a = b • p și a = c • q ( p , q € N ) , de unde b • p = c • q . Cum ( b , c ) = 1 , => p = c • r ( r € N ) . Deci , a = ( b • c ) • r , adică b • c | a .
Ex . 2
____
Determinați toate numerele naturale de forma 3xy divizibile cu 15 .
____ ____ ____ ____
Rezolvare : 15 | 3xy < = > 5 | 3xy , 3 | 3xy și ( 3 , 5 ) = 1 . Dar 5 | 3xy <=>
____ ___ ____ ___
<=> y € { 0 , 5 } <=> 3xy € { 3x0 , 3x5 } . Cum 3 | 3x0 <=> 3 | ( 3 + x + 0 )
____
<=> 3 | ( 3 + x ) <=> x € { 0 , 3 , 6 , 9 } <=> 3x0 € { 300 , 330 , 360 , 390 }
____
și 3 | 3x5 <=> 3 | ( 3 + x + 5 ) <=> 3 | ( 8 + x ) <=> x € { 1 , 4 , 7 } <=>
____
<=> 3x5 € { 315 , 345 , 375 } . Numerele căutate sunt : 300 , 315 , 330 , 345 , 360 , 375 , 390 .
Ex . 3
( a , b ) = 15
a • b = 1350
a = ?
b = ?
Rezolvare :
______________________________________
→ ( a,b ) = 15 → a = 15x si b = 15y →
_______________________________________
→ ( x,y ) = 1
________________________________________
→ a • b = 1 350 → 15x • 15y = 1 350
_________________________________________
x • y = 1 350 : 225 = 6 y = 6 →
__________________________________________
y = 1 → x = 6 → a = 15 • 6 → a = 90 → b = 15 • 1 → b = 15
___________________________________________
y = 2 → x = 3 → a = 15 • 3 → a = 45 → b = 15 • 2 → b = 30
___________________________________________
y = 3 → x = 2 → a = 15 • 2 → a = 30 → b = 15 • 3 → b = 45
___________________________________________
y = 6 → x = 1 → a = 15 • 1 → a = 15 → b = 15 • 6 → b = 90
___________________________________________
S = { ( 90 , 15 ) , ( 45 , 30 ) , ( 30 , 45 ) , ( 15 , 90 ) }
____________________________________________
→ c . m . m . m . c
=> se descompun numerele în produs de puteri de numere prime .
=> se iau factorii primi comuni si necomuni , o singură dată , la puterea cea mai mare si se înmulțesc între ei .
Ex . 1
Stabiliți dacă numărul 3^2 008 + 6 este divizibil cu 11 .
Rezolvare : 3^2 008 + 6 = 3³ • 3^2 005 + 6 = 3³ • ( 3^5 )^401 + 6 = 3³ • 243^401 + 6 = 3³ • ( 2 • 11² + 1)^401 + 6 = 3³ • ( M¹¹ + 1 )^401 + 6 = 3³ • ( M¹¹ + 1^401 ) + 6 = 27( M¹¹ + 1 ) + 6 = M¹¹ + 27 + 6 = M¹¹ + 33 = M¹¹ , adică 3^2 008 + 6 este divizibil cu 11 .
_____________________________________________________
Ex . 2
Calculați c . m . m . m . c al următoarelor grupe de numere :
a)2;9
b) 7;14
c)2;3;4
d)4;5
e)2;3;5
f)15;30;45
g)20;40;50
h)2;4;6;8
i)10;15;30;60
j)11;33;66;99
Rezolvare : a) 2 | 2 1 | 9 | 3 3 | 3 1 2 = 2 c.m.m.m.c = 2 • 3² = 2 • 9 = 18 9 = 3² b) 7 | 7 1 14 | 2 7 | 7 1 7 = 7 c.m.m.m.c = 2 • 7 = 14 14 = 2 • 7 c) 2 | 2 1 3 | 3 1 4 | 2 2 | 2 1 2 = 2 c.m.m.m.c = 2² • 3 = 4 • 3 = 12 3 = 3 4 = 2² d) 4 | 2 2 | 2 1 5 | 5 1 4 = 2² c.m.m.m.c = 2² • 5 = 4 • 5 = 20 5 = 5 e) 2 | 2 1 3 | 3 1 5 | 5 1 2 = 2 3 = 3 c.m.m.m.c = 2 • 3 • 5 = 6 • 5 = 30 5 = 5 f ) 15 | 3 5 | 5 1 30 | 2 15 | 3 5 | 5 1 45 | 3 15 | 3 5 | 5 1 15 = 3 • 5 30 = 2 • 3 • 5 c.m.m.m.c = 2 • 3² • 5 = 2 • 9 • 5 = 18 • 5 = 90 45 = 3² • 5 g ) 20 | 2 • 5 2 | 2 1 40 | 2 • 5 4 | 2 2 | 2 1 50 | 2 • 5 5 | 5 1 20 = 2² • 5 40 = 2³ • 5 c.m.m.m.c = 2³ • 5² = 8 • 25 = 200 50 = 2 • 5² h ) 2 | 2 1 4 | 2 2 | 2 1 6 | 2 3 | 3 1 8 | 2 4 | 2 2 | 2 1 2 = 2 4 = 2² 6 = 2 • 3 c.m.m.m.c = 2³ • 3 = 8 • 3 = 24 8 = 2³ i ) 10 | 2 • 5 1 15 | 3 5 | 5 1 30 | 2 • 5 3 | 3 1 60 | 2 • 5 6 | 2 3 | 3 1 10 = 2 • 5 15 = 3 • 5 c.m.m.m.c = 2² • 3 • 5 = 4 • 3 • 5 = 12 • 5 = 60 30 = 2 • 3 • 5 60 = 2² • 3 • 5 j ) 11 | 11 1 33 | 3 11 | 11 1 66 | 2 33 | 3 11 | 11 1 99 | 3 33 | 3 11 | 11 1 11 = 11 33 = 3 • 11 66 = 2 • 3 • 11 c.m.m.m.c = 2 • 3² • 11 = 2 • 9 • 11 = 18 • 11 = 198 99 = 3² • 11
_______________________________________________________
Ex . 3
Aflati care este cel mai mic numar de elevi care se pot aseza in coloana de 5,4 sau 6 elevi astfel incat sa nu ramana niciun elev singur.
Rezolvare :
5 | 5
1
_______________________
4 | 2
2 | 2
1
_______________________
6 | 2
3 | 3
1
_______________________
5 = 5
4 = 2²
6 = 2 • 3
_____________________
c . m . m . m . c = 2² • 3 • 5 = 4 • 3 • 5 = 12 • 5 = 60 elevi
___________________________________________________
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!