In fig.1 avem pct O la intersectia diagonalelor fetei ABB'A', iar distanta OM + MC' sa fie cea mai scurta este necesar ca o linie dreapta sa uneasca punctele OC' care intersecteaza BB' in M. Se observa in fig. 2 unde am desfasurat numai fetele ABB'A' si, in continuare, BCC'B'. Se calculeaza in functie de l niste dimensiuni utile: jumatate din diagonala patratului (l/2 ×√2), diagonala (l√2) si jumatatea laturii (l/2) si constructia suplimentara OQ ⊥ AA'.
Triunghiurile QOC' si B'MC' sunt asemenea pentru ca B'M este paralela cu OQ si avem:
C'B'/ C'Q = B'M/OQ; sau l : 3/2l = B'M : l/2 =>
B'M = l/3 si atunci BM = l - l/3 = 2l/3 pentru cel mai scurt drum. Daca introducem valori obtinem BM = 2×4/3 = 8/3 = 2+2/3 adica exact ca in situatia in care ni se cere cosBOM. [2,(6) = 2+6/9 = 2+2/3].
Triunghiul OBC' este triunghi dreptunghic in B pentru ca suma unghiurilor este 45°+45°. Putem calcula segmentul OC' ca fiind ipotenuza cu ajutorul catetelor OB si BC'.
Astfel OC'² =10l²/4 si deci OC' = l√5 / √2 deci
cos BOM = OB/OC' = l√2/2 : l√5/√2 = 1/√5
