Inainte de a incepe, trebuie cunoscute formulele: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2; (a^2 - b^2) = (a-b)(a+b) etc., plus metodele de rezolvare a ecuatiei de gradul II (fie prin disocierea unui termen, fie prin calculul cu delta).
Subiectul I:
1). (x^2 -4x + 4)
÷ (x^2 - 4)
= (x-2)^2 ÷ (x-2)(x+2) = (x-2) ÷ (x+2), unde x este diferit de {-2, 2};
2). F(x) = (x-5)(x+5) ÷ (x+5)^2 = (x-5) ÷ (x+5), unde x trebuie sa fie diferit de -5 (sau x apartine multimii R minus elementul -5).
3). F(x) = [(2x+5)^2 - 2(2x+5) + 1] ÷ (2x+4) = (2x+5-1)^2 ÷ (2x+4) = 2x+4 = 2(x+2), unde x apartine multimii R minus elementul -2.
Subiectul II:
1). a). (2x+6) ÷ (x^2+4x+3) = (2x+6) ÷ (x^2+x+3x+3) = [2(x+3)] ÷ [x(x+1)+3(x+1)] = 2(x+3) ÷ (x+1)(x+3) = 2 ÷ (x+1) (adevarat), unde x apartine multimii R minus elementele {-3, -1}.
b). 4÷(x-1) ramane asa cum e; (13-5x)÷(1-x^2) = (5x-13)÷(x^2-1) = (5x-13)÷[(x-1)(x+1)]; (2x+6)÷(3+4x+x^2) = (2x+6)÷[(x+1)(x+3)]; impartit la 1÷(x+1) se inmulteste cu inversul sau = *(x+1); numitorul comun va fi (x-1)(x+1)(x+3), rezulta:
[4(x+1)(x-3) + (5x-13)(x+3) - (2x+6)(x-1)] ÷ (x-1)(x+1)(x+3) * (x+1) =
(se reduce x+1)
= (4x^2+12x+4x+12+5x^2+15x-13x-39-2x^2+2x-6x+6) ÷ (x-1)(x+3) =
= (7x^2+14x-21) ÷ (x-1)(x+3) =
= 7(x^2+2x-3) ÷ (x-1)(x+3) =
= 7(x^2+3x-x-3) ÷ (x-1)(x+3) =
= 7(x+3)(x-1) ÷ (x-1)(x+3) =
= 7. (adevarat)
2). E(x,y) = [(x+y+3)÷(x+y+1) + 1]^2 * (x+y+1)^2 ÷ 12(x+y)^2 =
= [(x+y+3+x+y+1)÷(x+y+1)]^2 * (x+y+1)^2 ÷ 12(x+y(^2 =
= 4(x+y+2)^2 ÷ 12(x+y)^2 = (x+y+2)^2 ÷ 3(x+y)^2
Daca x=1 si y=1, E(1,1) = 16/12 (nu apartine lui N); daca x=2 si y=2, E(2,2) = 36/48 = 3/4 (nu apartine lui N) etc. De aici incolo, E(x,y) devine o fractie subunitara. Prin urmare, E(x,y) nu poate apartine lui N stelat, indiferent de valorile lui x si y, unde x,y apartin tot lui N stelat.
