Da, deci o sa-l rezolv presupunand ca forma cerintei este
[tex]\cos{A}+\cos{B}-\cos{(A+B)}=\frac{3}{2}[/tex]
Stim ca suma unghiurilor din triunghi este de 180 grade, adica pi
[tex]A+B+C=\pi\Rightarrow C=\pi-(A+B)[/tex]
Stim ca in general
[tex]\cos{(\pi-x)}=-\cos{x}[/tex]
Atunci in cazul nostru
[tex]\cos{C}=\cos{(\pi-(A+B))}=-\cos{(A+B)}[/tex]
Atunci ecuatia devine
[tex]\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=\frac{3}{2}[/tex]
Mai stim ca
[tex]\cos{A}+\cos{B}=2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}[/tex]
[tex]\cos{C}=1-2\sin^{2}{\frac{C}{2}}[/tex]
Atunci ecuatia devine
[tex]2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+1-2\sin^{2}{\frac{C}{2}}=\frac{3}{2}\Rightarrow 4\cos{\frac{\pi-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+2(1-2\sin^{2}{\frac{C}{2}})=3[/tex]
Mai stim ca
[tex]\cos{\frac{\pi}{2}-x}=\sin{x}[/tex]
Deci in cazul nostru
[tex]\cos{\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}}=\sin{\frac{C}{2}}[/tex]
Atunci ecuatia devine
[tex]4\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+2-4\sin^{2}{\frac{C}{2}}-3=0\Rightarrow 4\sin^{2}{\frac{C}{2}}-4\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+1=0[/tex]
Aceasta este o ecuatie de gradul 2 in sinC/2 deci putem nota cu o variabila si sa rescriem ecuatia
[tex]\sin{\frac{C}{2}}=x[/tex]
Si ecuatia devine
[tex]4x^{2}-4x\cos{\frac{A-B}{2}}+1=0[/tex]
Stim ca x va avea numai solutii reale, deci discriminantul ecuatiei trebuie sa aiba mai mult decat 0
[tex]\delta=16\cos^{2}{\frac{A-B}{2}}-16\geq0\Rightarrow 16\cos^{2}{\frac{A-B}{2}}\geq16\Rightarrow \cos^{2}{\frac{A-B}{2}}\geq1[/tex]
dupa cum stii, cosinusul poate lua valori maxim de 1, si conditia de mai sus este minimum 1, deci singura solutie a inecuatiei este:
[tex]\cos{\frac{A-B}{2}}=1\Rightarrow \frac{A-B}{2}=0\Rightarrow A=B[/tex]
In mod similar, se poate demonstra ca B=C. Si atunci A=B=C. adica triunghiul este echilateral.
