👤
a fost răspuns

Sa se afle cele mai mari numere posibile x, y, z astfel incat 1*2*3*...*40 / 2^x * 3^y * 7^z , sa apartina lui N.

Răspuns :

ALBASTRUVERDE12EZ
[tex]\displaystyle Deoarece~ \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 40}{2^x \cdot 3^y \cdot 7^z} \in \mathbb{N} \Rightarrow 2^x \cdot 3^y \cdot 7^z~|~1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot... \cdot 40. \\ \\ Pentru~ca~x,y,~respectiv~z~sa~fie~maxime,~trebuie~ca~ele~sa \\ \\ reprezinte~exponentul~numerelor~2,~3,~respectiv~7~din~ \\ \\ descompunerea~in~factori~primi~ai~lui~1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot... \cdot 40. \\ \\ Folosim~urmarea~proprietate: \\ \\ [/tex]

[tex]\displaystyle Exponentul~numarului~prim~p~din~descompunerea~in~produs~de \\ \\ factori~primi~a~produsului~1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot... \cdot n~este \\ \\ \left[ \frac{n}{p}\right]+\left[ \frac{n}{p^2}\right]+ \left[\frac{n}{p^3} \right]+... \\ \\ ([x]=partea~intreaga~a~lui~x) [/tex]

[tex]\displaystyle Deci~2~va~avea~exponentul: \\ \\ \left[ \frac{40}{2} \right]+\left[\frac{40}{4} \right]+\left[\frac{40}{8} \right]+ \left[ \frac{40}{16}\right]+ \left[\frac{40}{32} \right]+ \left[ \frac{40}{64} \right]+...= \\ \\ =20+10+5+2+1+0+...(toti~acesti~termeni~sunt~nuli)= \\ \\ =38 \longrightarrow x=38. [/tex]

[tex]\displaystyle 3 ~va~avea~exponentul: \\ \\ \left[\frac{40}{3} \right]+\left[ \frac{40}{9}\right]+\left[ \frac{40}{27}\right]+\left[ \frac{40}{81}\right]+...= \\ \\ =13+4+1+0+...(toti~acesti~termeni~sunt~nuli)= \\ \\ =18 \longrightarrow y=18. \\ \\ Iar~7~va~avea~exponentul: \\ \\ \left[\frac{40}{7} \right]+\left[\frac{40}{49} \right]+...= \\ \\ =5+0+...(toti~acesti~termeni~sunt~nuli)= \\ \\ =5 \longrightarrow z=5.[/tex]
OVDUMIEZ
in produsul 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ..............40 avem:
puterile lui 2:

2^5=32               ⇒ 1 factor
2^4=16               ⇒ 1 factor
2^3=8,   8;24;40 ⇒ 3 factori
2^2=4,   4;12;20;28;36⇒ 5 factori
2^1=2,   2;6;10;14;18;22;26;30;34;38  ⇒ 10 factori
avem 2^(5+4+3 x 3+5 x 2+10 x 1)=2^38


puterile lui 3:
3^3=27   ⇒ 1 factor
3^2=9   9;18;36 ⇒ 3 factori
3^1=3   3;6;12;15;21;24;30;33;39 ⇒ 9 factori
avem 3^(3+3 x 2+9)=3^18

puterile lui 7
7^1  7;14;21;28;35  ⇒ 5 factori
avem 7^5

prin urmare:
x=38 (puterea lui 2)
y=18 (puterea lui 3)
z=5   (puterea lui 7)
logica a constat in a determina cati factori contin pe 2,3,7 la puterile:
2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5 (2^6 >40)
3^1, 3^2, 3^3 (3^4>40)
7^1 (7^2>40)
si mai departe exponentul lui 2, 3 si 7
sper sa fie pe intelesul tuturor care au curiozitatea sa vada rezolvarea.


Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ez Askings: Alte intrebari