Fie f(x)=(x+a)(x+2a)(x+3a) (x+4a)
pt a=0, vom avea patru radacini egale cu √√b^4=√|b|²=|b|
pt a≠0,
I .
fie a>0
aceasta va avea 4 radacini in ordinea crescatoare -4a,3a, --2a,-a, notate pt comoditate cu x1,x2,x3,x4 , in ordine crescatoare
intre aceste radacini , functia va schimba semnul, cf. tabelului de variatie din tabel si din graficul anexat
intre cele 4 radacini ale functiei vor exista 3 radacini ale derivatei (o ecuatie de ordin 3), cf teormei lui lui Rolle, adica va prezenta 2 minime locale si un maximim locale
el vor fi situate in tervalele (-4a,-3a), (-3a,-2a)si, respectiv, (-2a, -a)
vom nota aceste radacini cu x'1 , x'2, x'3
ecuatia f(x)=b^4
radacinile acestei ecuatii pot fi APROXIMATE grafic prin intersectia intre graficul functiei f(x) si dreapta y=b^4
vom nota aceste puncte de intersectie cu y1,y2,y3,y4, care sunt radacinile ecuatiei date
cum b^4≥0 avem cazurile
pt b=0, y1=y2=y3 =y4=0
pt b≠0,
avem
daca b^4 ∈intervalului(0,f(x'2) ), avem 4 radacini si anume
y1<∈(-∞, x1) adica (-∞, -4a)
y1∈intervalului (-∞, x1) adica (-∞, -4a)
y2∈ (x2, x'2), adica (-3a, x'2)
y3∈(x'2, x3) adica (x'2, -2a)
y4∈(x4,∞) adica (-a, ∞)
pt b^4=f(x'2)
vom avea 3 radacini (dinte care 2 confundate, adica una dubla)
y1∈intervalului (-∞, x1) adica (-∞, -4a)
y2=y3=f(x'2)
y4∈(x4,∞) adica (-a, ∞)
pentru b^4>f(x'2)
avem 2 radacini
y1∈intervalului (-∞, x1) adica (-∞, -4a)
si y2∈(x4,∞) adica (-a, ∞)
ca sa aflam x'1.x'2,x'3 ar trebui sa rezolvam ecuatia f'(x)=0, o ecuatie de grad 3
in unele cazuri concrete particulare, se poate rezolva
II.
pt a<0, problema este analoga, adica vom avea tot 4,3(una dubla) sau 2 radacini doar ca radacinile x1,x2, x3, si x4 for fi in ordine -a,-2a,-3a si , respectiv -4a si se vor afla in dreapta axei Oy iar x2' va apartine tot (x2,x3) dar acesta va fi de forma (-2a, -3a)
rexolvare exacta pt. x1, x2,x3, x4 nu am ci doar aceasta, aproximativa
