Aria unui triunghi oarecare o putem calcula in mai multe moduri, in functie de datele cunoscute; cea mai utilizata este (bxh)/2, unde b = lungimea unei laturi iar h= inaltimea corespunzatoare ei, dar in acest caz nu cunoastem nici una din inaltimi.
Cea mai usor de aplicat in cazul cand cunoastem lungimile celor 3 laturi este formula lui Heron:
Aria triunghi=rad.[ p(p-a)(p-b)(p-c)]; calculam p=(13+14+15)/2=42/2=21
=> Aria triunghi ABC=rad.[21*(21-13)*(21-14)*(21-15)]=
rad.(21*8*7*6)=rad. (3*7*2^3*7*2*3)= rad. (2^4*3^2*7^2)=2^2*3*7=84
=>Aria triunghi ABC=84cm^2.
b)Daca AD bisectoare pt. (<ABC),
fie DF_|_AB, iar DE_|_AC din enunt =>DF=DE(*) (orice punct aflat pe bisectoarea unui unghi se afla la distanta egala de laturile unghiului)
Daca DE_|_AC => DE este inaltime in triunghiul ADC, unde baza este AC=15cm, la fel daca DF_|_AB =>DF inaltime in triunghiul ABD unde
baza este AB=13cm
Din (*) =>DF=DE si o notam h
Conform figurii (D apartine BC) =>
Aria triung.ABC=Aria triung. ADC+Aria triung.ABD
Din a) se stie ca A triung.ABC=84cm^2
=>84=15*h/2+13*h/2 =>28*h/2=84 =>14*h=84 =>h=6
=>DE=6cm
Daca AD bisectoare pt. (<ABC), cfm. Teoremei bisectoarei
=>BD/DC=AB/AC(**)
=>BD/DC=13/15<=> BD/13=DC/15 ( ca
proportie derivata cu aceeasi termeni; intr-o proportie putem inverse mezii
intre ei si se pastreaza proportia)
Dar BD/13=DC/15 <=> BD/13=DC/15=(BD+DC)/(13+15)=14/28=1/2 (din proportii derivate cu termeni schimbati)
=> DC/15=1/2=>DC=15/2cm.
In triunghiul DEC(<E=90grd.)aplicam T.Pitagora pentru
cateta EC:
EC^2=DC^2-DE^2=(15/2)^2-6^2=225/4-36=(225-4*36)/4==81/4
=>EC=radic.(81/4)=9/2
EC=9/2cm.
