7. a. A=3²ⁿ·25ⁿ⁺¹-9ⁿ⁺¹·5²ⁿ
A=3²ⁿ·5²ⁿ⁺²-3²ⁿ⁺²·5²ⁿ
A=3²ⁿ·5²ⁿ(1·5²-3²·1)
A=15²ⁿ(25-9)
A=15²ⁿ·16
A=(15ⁿ·4)² ⇒numarul A este patrat perfect;
b. √A=
√(15ⁿ·4)²=
15ⁿ·4
Pentru orice putere naturala nenula de-a lui 5 ultima cifra va fi 5.
u.c(15ⁿ)=u.c(5ⁿ)=5
u.c(15ⁿ·4)=0 ⇒numar par (1)
Daca puterea lui 5 este 0 atunci ultima cifra va fi 5⁰=1.
u.c(15ⁿ)=u.c(5ⁿ)=1
u.c(15ⁿ·4)=4 ⇒numar par (2)
Din (1) si (2) ⇒√A este numar par oricare ar fi n∈N.
c. √A=15ⁿ·4
Daca n∈N astfel incat n≥1 atunci 15/15ⁿ·4 pentru orice n∈N (unde n≠0).
Daca n=0⇒15ⁿ·4=1·4=4 ⇒15 nu divide pe 4 pentru n=0.
In concluzie √A nu se divide cu 15 cand
n=0
