A1
a)
Pentru 0,99:
[tex] \frac{99}{100}= \frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}} \\
[/tex]
Facem produsul mezilor si extremilor:
[tex]99n^{2}+198n+99=100n^{2}+200n\\
n^{2}+2n-99=0
[/tex]
n∈{-11, 9}
-11 este imposibil ==> Rangul lui 0,99 este n = 9
Pentru 0,9999:
[tex] \frac{9999}{10000}= \frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}}\\
9999n^{2}+19998n+9999=10000n^{2}+20000n\\
n^{2}+2n-9999=0 [/tex]
n∈{-101,99}
-101 e imposibil ==> Rangul este n = 99
Pentru 35/36:
[tex] \frac{35}{36}= \frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}}\\
35n^2+70n+35=36n^{2}+72n\\
n^{2}+2n-35=0\\
[/tex]
n∈{-7, 5}
-7 este imposibil ==> Rangul termenului este n = 5;
b)
[tex]b _{n}= \frac{1*3}{2^{2}}* \frac{2*4}{3^{2}}* \frac{3*5}{4^{2}}*...* \frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}}\\
b_{n}= \frac{1*2*3*...*n*3*4*5*...*(n+1)*(n+2)}{(2*3*4*...*n*(n+1))*(2*3*4*...*(n+1))} \\ [/tex]
Le-am scris mai rasfirat ca sa vezi cum se simplifica:
[tex]b_{n}= \frac{1*(n+2)}{(n+1)*2} \\ b_{n}= \frac{n+2}{2(n+1)} [/tex]
A2.
a)
[tex]a_{n+1}=a_{n}+b_{n}[/tex]
Inlocuim:
[tex] \frac{n+1}{n+2}= \frac{n}{n+1}+b_{n}\\
b_{n}= \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}\\
b_{n}= \frac{(n+1)^{2}-n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} [/tex]
b)
Ar fi mai bine sa scriem suma dupa formula la care am ajuns putin mai inainte:
[tex]b_{n}=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}\\ S= \frac{2}{3}- \frac{1}{2}+ \frac{3}{4}- \frac{2}{3}+ \frac{4}{5}- \frac{3}{4}+...+ \frac{n}{n+1}- \frac{n-1}{n}+ \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} \\[/tex]
Dupa cum vezi termenii se reduc (unul cu plus, unul cu minus), si ne ramane:
[tex]S=- \frac{1}{2}+ \frac{n+1}{n+2} = \frac{n}{2(n+2)} [/tex]
A3
Presupunem ca este adevarata:
[tex]a_{n}=2^{n}+(-1)^{n}[/tex]
Inlocuim in relatia de recurenta:
[tex]2^{n}+(-1)^{n}=2^{n-1}+(-1)^{n-1}+2(2^{n-2}+(-1)^{n-2})\\
2^{n}+(-1)^{n}=2^{n-1}+(-1)^{n-1}+2^{n-1}+2*(-1)^{n-2}\\
2^{n}+(-1)^{n}=2^{n}+(-1)*(-1)^{n-2}+2*(-1)^{n-2}\\
2^{n}+(-1)^{n}=2^{n}+(-1)^{n-2}[/tex]
Adevarat deoarece stiim ca (-1)^n alterneaza intre 1 (cand n este par) si -1 (cand n este impar), iar (n) si cu (n-2) au aceeasi paritate ==> Presupunerea facuta e adevarata
La a) se vede ca α = β = 1, din formula generala de mai sus
