E8
a)
Daca a este progresie aritmetica cu ratia r ==> a2 = a1 +r, a3 = a1 + 2r, a4 = a1 + 3r ... an = a1 + (n - 1)r
Inlocuim:
O sa notez termenii noii progresii cu t:
t1 = a1 + a2 = a1 + a1 + r = 2 * a1 + r
t2 = a2 + a3 = a1 + r + a1 + 2r = 2 * a1 + 3r
t3 = a3 + a4 = a1 + 2r + a1 + 3r = 2 * a1 + 5r
Daca facem diferentele t2 - t1 , t3 - t2, t4 - t3, si tot asa, aflam ca toate sunt 2r ==> Progresia este una aritmetica cu termenul initial t1 = 2 * a1 + r, iar ratia 2r
b)
Fie
an = a1 + (n - 1) * r1
bn = b1 + (n - 1) * r2
unde r1 si r2 sunt ratiile respectivelor progresii aritmetice
cn = an + bn = a1 + b1 + (n - 1)r1 + (n - 1)r2 = (a1 + b1) + (n - 1)(r1 + r2)
Se vede ca cn este o progresie aritmetica cu termenul initial c1 = a1 + b1 si ratia (r1 + r2)
E9
a)
[tex][tex]3S_{100}-3S_{200}+S_{300}=3 \frac{100(a_{1}+a_{100})}{2} -3 \frac{200(a_{1}+a_{200})}{2}+ \frac{300(a_{1}+a_{300})}{2}=\\ = \frac{100(3a_{1}+3a_{100}-6a_{1}-6a_{200}+3a_{1}+3a_{300})}{2} =\\ = \frac{100(3(a_{1}+99r)-6(a_{1}+199r)+3(a_{1}+299r))}{2}=0[/tex] [/tex]
[tex]3(S_{n}-S_{2n})+S_{3n}=3( \frac{n(a_{1}+a_{n})}{2} - \frac{2n(a1+a_{2n})}{2} )+ \frac{3n(a_{1}+a_{3n})}{2}=\\
= \frac{n(3a_{1}+3a_{n}-6a_{1}-6a_{2n}+3a_{1}+3a_{3n})}{2}= \frac{n(3a_{n}-6a_{2n}+3a_{3n})}{y}=\\
= \frac{n(3(a1+(n-1)r)-6(a1+(2n-1)r)+3(a1+(3n-1)r))}{2}=\\
=\frac{n(3nr-3r-12nr+6r+9nr-3r)}{2}=0 [/tex]
