Răspuns :
1) Consideram z=a+bi ,a,b∈R
|z| =√(a²+b²);
4z²+8|z|²-3=0
4(a+bi)²+8(a²+b)²-3=0
4(a²+2abi-b²)+8(a²+b²)-3=0
4a²+8abi-4b²+8a²+8b²-3=0
12a²+4b²+8abi=3
Obtinem sistemul:
{ 8ab=0⇒ a=0 sau b=0
{
{12a²+4b²=3
Daca a=0:
4b²=3
b²=3/4⇒ b∈{+- √3/2}
Daca b=0:
12a²=3
a²=1/4 ⇒a∈{+- 1/2}
Asadar z∈{1/2 , -1/2, -i√3/2 , i√3/2}
[tex]2)Folosim\ forma\ trigonometrica\ a\ numarului\ complex:\\ z^5=-1\\ r=|z|= 1\\ cos \Phi= \frac{x}{r}=-1\\ sin \Phi= \frac{y}{r}=0\\ Din\ ambele\ rezulta: \Phi=\pi\ radiani\\ Z\z_k=cos\frac{\Phi+2k\pi}{5}+i\cdot sin\frac{\Phi+2k\pi}{5},k=\overline{0,4}\\ k=0\Rightarrow z_0=cos \frac{\pi}{5}+i\cdot sin\frac{\pi}{5}\\ k=1\Rightarrow z_1=cos \frac{3\pi}{5}+i\cdot sin \frac{3\pi}{5}\\ k=2\Rightarrow z_2=cos \pi+i\cdot sin \pi\\ k=3\Rightarrow z_3=cos \frac{7\pi}{5}+i\cdot sin \frac{7\pi}{5}\\ [/tex]
[tex]k=4\Rightarrow z_4=cos \frac{9\pi}{5}+i\cdot sin \frac{9\pi}{5}\\ [/tex]
[tex]z^3=\overline{z}\\ Notam : z=a+bi, a,b\in R\\ (a+bi)^3=a-bi\\ a^3-ib^3+3abi(a+bi)=a-bi\\ a^3-ib^3+3a^2bi-3ab^2=a-bi\\ Obtinem\ sistemul:\\ \left \{ {{a^3-3ab^2=a} \atop {b^3+3a^2b=-b}} \right.\\ In\ mod\ normal\ ai\ putea\ sa\ il\ rezolvi\ si\ singur. [/tex]
Scz,dar 3 nu stiu sa il fac.
|z| =√(a²+b²);
4z²+8|z|²-3=0
4(a+bi)²+8(a²+b)²-3=0
4(a²+2abi-b²)+8(a²+b²)-3=0
4a²+8abi-4b²+8a²+8b²-3=0
12a²+4b²+8abi=3
Obtinem sistemul:
{ 8ab=0⇒ a=0 sau b=0
{
{12a²+4b²=3
Daca a=0:
4b²=3
b²=3/4⇒ b∈{+- √3/2}
Daca b=0:
12a²=3
a²=1/4 ⇒a∈{+- 1/2}
Asadar z∈{1/2 , -1/2, -i√3/2 , i√3/2}
[tex]2)Folosim\ forma\ trigonometrica\ a\ numarului\ complex:\\ z^5=-1\\ r=|z|= 1\\ cos \Phi= \frac{x}{r}=-1\\ sin \Phi= \frac{y}{r}=0\\ Din\ ambele\ rezulta: \Phi=\pi\ radiani\\ Z\z_k=cos\frac{\Phi+2k\pi}{5}+i\cdot sin\frac{\Phi+2k\pi}{5},k=\overline{0,4}\\ k=0\Rightarrow z_0=cos \frac{\pi}{5}+i\cdot sin\frac{\pi}{5}\\ k=1\Rightarrow z_1=cos \frac{3\pi}{5}+i\cdot sin \frac{3\pi}{5}\\ k=2\Rightarrow z_2=cos \pi+i\cdot sin \pi\\ k=3\Rightarrow z_3=cos \frac{7\pi}{5}+i\cdot sin \frac{7\pi}{5}\\ [/tex]
[tex]k=4\Rightarrow z_4=cos \frac{9\pi}{5}+i\cdot sin \frac{9\pi}{5}\\ [/tex]
[tex]z^3=\overline{z}\\ Notam : z=a+bi, a,b\in R\\ (a+bi)^3=a-bi\\ a^3-ib^3+3abi(a+bi)=a-bi\\ a^3-ib^3+3a^2bi-3ab^2=a-bi\\ Obtinem\ sistemul:\\ \left \{ {{a^3-3ab^2=a} \atop {b^3+3a^2b=-b}} \right.\\ In\ mod\ normal\ ai\ putea\ sa\ il\ rezolvi\ si\ singur. [/tex]
Scz,dar 3 nu stiu sa il fac.
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu nerăbdare să vă revedem și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!